Математическая энциклопедия - безусловная сходимость

свойство ряда сходиться при любой перестановке его членов. Точнее, ряд

из элементов линейного пространства Е, в к-ром определено понятие сходящейся последовательности, наз. безусловно сходящимся, если он сходится при любой перестановке его членов.

Одно направление исследований относится к изучению безусловно сходящихся рядов в векторных метрических (или топологических) пространствах (см. [1] [3]). Так, для Б. с. ряда (*) из элементов банахова пространства Енеобходимо и достаточно, чтобы каждый частичный ряд был сходящимся [4]. Б. с. числового ряда равносильна его абсолютной сходимости (см. Римана теорема о перестановке членов ряда). Вообще, если Е- конечномерное векторное нормированное пространство, то Б. с. ряда равносильна сходимости ряда . В бесконечномерном банаховом пространстве такое утверждение неверно.

Другое направление исследований касается свойств безусловно сходящихся почти всюду функциональных (или ортогональных) рядов [5]. Эти свойства зачастую принципиально отличны от свойств Б. с. рядов в банаховых пространствах. Так, напр., аналог сформулированной выше теоремы Орлича не имеет места для Б. с. почти всюду [6].

Лит.:ГПБанах С., Курс функционального анал!зу, К., 1948; [2] Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [3] Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., [ч 1] М 1962; [4] Orlicz W., "Stud, math.", 1929, t. 1, p. 241-55; [5] Качмаж С., Штейн гауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [6] Ульянов П. Л., "Успехи матем. наук", 1961, т. 16, в. 3, с. 61 142. Б. И. Голубое.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985