Математическая энциклопедия - бивектор

упорядоченная пара векторов аффинного пространства отложенных от общего начала. Б. полагается равным нулю, если составляющие его векторы коллинеарны. Ненулевой Б. определяет в Анесущую его двумерную плоскость. Два Б. наз. параллельными, если параллельны несущие их плоскости. Если пространство имеет конечную размерность контравариантныё координаты вектора -контравариантныё координаты вектора , вычисленные в нек-ром базисе пространства A, то величины

наз. координатами бивектора в базисе е. Эти координаты кососимметричны по своим индексам; среди них существенных координат. При переходе в A к другому базису координаты Б. ведут себя как координаты дважды контравариантного тензора. Два Б. наз. равными, если в к.-л. базисе равны их координаты (они будут равны и в любом другом базисе). Класс равных Б. наз. свободным бивектором. При наличии в Аскалярного произведения на Б. распространяется ряд метрич. понятий векторной алгебры. Мерой Б. наз. площадь параллелограмма, образованного векторами начало каждого из к-рых помещено в конец предыдущего. Равные Б. имеют равную меру. Скалярным произведением двух Б. наз. число, равное произведению мер сомножителей на косинус угла между несущими их плоскостями. Скалярное произведение является билинейной формой от координат сомножителей, коэффициенты к-рой определяются только метрич. тензором пространства А.

Если размерность Аравна 3, то Б. может быть отождествлен с вектором пространства А, наз. векторным произведением векторов

В тензорном исчислении Б. наз. любой контравариантный кососимметрический тензор валентности 2 [т. е. тензор типа (2,0)]. Каждый такой тензор может быть представлен в виде суммы тензоров, к-рым соответствуют ненулевые Б. с различными несущими плоскостями. Они определяют листы бивектора. Ранг косоеимметрической матрицы размера , составленной из координат В., есть четное число

, где число листов Б. В пространстве Анад полем действительных чисел эта матрица подобна матрице

с блоками

См. также Внешнее произведение, Поливектор, Плюккеровы координаты.

Лит.:[1] Схоутен Я. А.. Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965. Л. Я. Купцов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985