Математическая энциклопедия - булева алгебра

булева решетк а,частично упорядоченное множество специального вида. Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 единицу Б. а., наименьший элемент 0 нуль Б. а. и содержащая вместе с каждым своим элементом хего дополнение элемент , удовлетворяющий соотношениям

Операции обозначаются обычно знаками и , а иногда , чем подчеркивается их сходство с теоретико-множественными операциями объединения и пересечения. Вместо иногда пишут Дополнение всякого элемента в Б. а. единственно. Б. а. может определяться и иначе, а именно, как непустое множество с операциями удовлетворяющими аксиомам:

При таком подходе упорядочение не предполагается заранее заданным, а вводится условием: тогда и только тогда, когда .

Возможны и другие аксиоматики. В аксиомах Б. а. отражена аналогия между понятиями "множества", "события", "высказывания". Отношение порядка в Б. а. может быть (в зависимости от выбора интерпретации) истолковано как теоретико-множественное включение, как причинное следование для событий, как логич. следование для высказываний и т. д.

Кроме основных операций в Б. а. могут быть определены и другие, среди к-рых особенно важна операция симметрической разности:

(пишут также ).

Всякая Б. а. есть булево кольцо с единицей относительно операций ("сложение") и ("умножение"); любое булево кольцо с единицей можно рассматривать как Б. а.

Б. а. возникли в трудах Дж. Буля [1], [2] как аппарат символич. логики. В последующем они нашли широкое применение в различных разделах математики в теории вероятностей, топологии, функциональном анализе и др. В основе приложений Б. а. к логике лежит интерпретация элементов Б. а. как высказываний (см. Алгебра логики); при этом дополнение истолковывается как отрицание высказывания х, а операции и как конъюнкция и дизъюнкция. К логике близка и другая область применения Б. а.теория контактных схем. Б. а. используются при обосновании теории вероятностей. Поле событий, изучаемое в теории вероятностей, есть Б. а.; при этом неравенство означает, что событие хвлечет событие у;соответственно с этим истолковываются нуль Б. а., единица Б. а. ибулевы операции

Пример Б. а.упорядоченная по включению система всех подмножеств к.-л. фиксированного множества Q. Такая Б. а. обозначается ; ее нулем служит пустое множество, единицей само множество Q. Дополнение элемента есть множество ; булевы операции и совпадают соответственно с объединением и пересечением.

Вместо подмножеств множества удобно рассматривать их характеристич. функции. Система всех таких функций при естественном упорядочении оказывается Б. а., изоморфной Б. а.. Операции , истолковываются в такой Б. а. следующим образом:

Особенно важны случаи:

1)

Аарактеристич. функции подмножеств в данном случае суть "двоичные символы" вида

Их число равно . При получается двухэлементная Б. а., состоящая только из нуля и единицы.

2)

В этом случае элементами будут всевозможные функции, заданные на системе всех двоичных символов длины пи принимающие только значения 0 и 1. Их наз. булевыми функциями от пцеременных. Всякая правильно построенная формула логики высказываний определяет нек-рую булеву функцию, причем совпадение функций означает эквивалентность формул.

При нек-рых условиях множество Еэлементов Б. а. Xсамо оказывается Б. а. относительно индуцированного из X порядка. Так будет, в частности, в следующих случаях:.

а) Е - главный идеал, т. е. множество вида ; роль единицы здесь играет элемент и;

б) Е - подалгебра Б. а. X. Это означает, что из

следует . Нулем и единицей новой Б. а. служат нуль и единица исходной Б. а. Особенно важны подалгебры Б. а. ; их наз. алгебрами множеств. Всякое множество порождает нек-рую подалгебру наименьшую подалгебру, содержащую Е.

Среди отображений Б. а. особую роль играют гомоморфизмы Б. а., то есть отображения, перестановочные с булевыми операциями. Биективный гомоморфизм Б. а. является изоморфизмом Б. а. Если Б. а. А' порождена множеством Е, то для того чтобы всякое отображение множества Ев произвольную Б.