Математическая энциклопедия - булевозначная модель

модель, определяемая следующим образом. Пусть сигнатура нек-poro языка 1-й ступени с одним сортом переменных, т. е. множество символов функций и предикатов. Б. м. наз. тройка где невырожденная булева алгебра, - непустое множество и функция, определенная на W и такая, что

если есть n-местный функциональный символ, и

,

если есть n-местный предикатный символ. Запись обозначает множество всех функций, определенных на со значениями в и , где натуральное число. Булева алгебра BM наз. множеством истинностных значений модели М. Множество наз. универсумом модели М. Б. м. Мназ. также S-моделью, если множество истинностных значений есть булева алгебра В, . Если булева алгебра Вдвухэлементна (т. е. ), то S-модель Месть классическая двузначная модель.

Пусть язык, пополненный новыми индивидными константами: для каждого своя индивидная константа . Пусть Месть В-модель и полная булева алгебра. Тогда нижеследующие равенства 1) 8) определяют значение каждого замкнутого выражения е(т. е. формулы или терма без свободных переменных) языка :

где замкнутые термы и есть -местный функциональный или предикатный символ;

Соотношения 1) 8) определяют значение и для некоторых неполных булевых алгебр; надо только, чтобы существовали бесконечные объединения и пересечения в 7) и 8). Понятие Б. м. можно ввести и для языков со многими сортами переменных. В этом случае для каждого сорта переменных будет своя область изменения .

Замкнутая формула наз. истинной в В-модели , если

В-модель Мназ. моделью теории , если для каждой аксиомы теории Т. Если hесть гомоморфизм булевой алгебры Вна булеву алгебру В', сохраняющий бесконеяные объединения и пересечения, то существует -модель такая, что

для каждой замкнутой формулы языка . В случае, если универсум модели Мсчетен, то существует гомоморфизм h в булеву алгебру {0,1}, позволяющий переделать модель Мв классическую двузначную модель М' такую, что

Доказано, что теория Тнепротиворечива тогда и только тогда, когда она имеет Б. м. На этой теореме основано применение теории Б. м. к вопросам непротиворечивости аксиоматич. теорий.

Если Б. м. теории Тстроится средствами другой аксиоматич. теории S, то получается результат о непротиворечивости теории Тотносительно S. Так, напр., результат П. Коэна (P. Cohen) о непротиворечивости теории относительно можно получить построением соответствующей Б. м. средствами системы (см. Вынуждения метод). Построение коэновского отношения вынуждения равносильно построению такой Б. м. М, что

Лит.:[1] Расёва Е., Сикорский Р., Математика метаматематики, пер. с англ., М., 1972; [2] Йех Т., Теория множеств и метод форсинга, пер с англ., М., 1973;[3] Takeuti G., Zаring W. M., Axiomatic set theory, N. Y. [a.o.], (1973); [4] Манин Ю. И., в сб.: Итоги науки и техники. Современные проблемы математики, т. 5, М., 1975, с. 5-72.

В. Н. Гришин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985