Математическая энциклопедия - действие группы

на многообразиинаиболее изученный случай общего понятия действия группы на пространстве. Топологич. группа Gдействует на пространстве X, если каждому поставлен в соответствие гомеоморфизм jg пространства X(на себя), удовлетворяющий условиям: 1) jgjh =jgh;.2) для единицы отображение je есть тождественный гомеоморфизм; 3) отображение j: j(g, x) =jg(x). непрерывно. В случае, когда Xи Gобладают дополнительными структурами, особый интерес представляют Д. г. G, учитывающие эти структуры; напр., если Xдифференцируемое многообразие, Gгруппа Ли, то отображение j обычно предполагается дифференцируемым.

Множество {jg(x0)}g ОG наз. орбитой (траекторией) точки относительно группы G;пространство орбит обозначается X/G и наз. также факторпространством пространства X п о группе G. Важным примером является случай, когда Xесть группа Ли, а dее подгруппа; тогда X/G есть соответствующее однородное пространство. Классические примеры: сферы S^n-1=O(n)/O(n-1), Грассмана многообразия Штифеля многообразия О (п)/О (т).

Здесь пространство орбит есть многообразие. Обычно же это не так, если действие группы не является свободным, напр., если множество Х ^G неподвижных точек непусто. При этом под свободным действием группы понимается действие, при к-ром из gx=x,следует g=e. В противоположность этому, X^G будет многообразием, если X - дифференцируемое многообразие, а действие группы Gдифференцируемо; это утверждение верно и для когомологич. многообразий над Z р для G=Zp (теорема Смита).

Если Gнекомпактная группа, то пространство X/G, вообще говоря, неотделимо, и поэтому интерес представляет индивидуальное изучение траекторий и их взаимного расположения. Классическим является пример группы G=R действительных чисел, действующей дифференцируемым образом на дифференцируемом многообразии X. Изучение таких динамич. систем, эквивалентных заданию систем обыкновенных дифференциальных уравнений в локальных координатах, проводится в основном аналитич. методами.

В случае компактной группы Gсуществует предположение, что если Xмногообразие, а каждое g неравно eдействует на Xнетривиально (т. е. не является действием по закону ), то Gесть группа Ли (см. [8]). Поэтому интерес к случаю действия компактной группы концентрируется вокруг действия группы Ли.

Пусть Gкомпактная группа Ли, Xкомпактное когомологич. многообразие. Типичными являются следующие результаты. В Xсуществует конечное число типов орбит, окрестности орбиты устроены как прямое произведение (теорема о срезе), имеют место представляющие интерес связи между когомологич. строением пространств X, X/G, Х ^G.

Если Gкомпактная группа Ли, Xдифференцируемое многообразие, а действие дифференцируемо, то естественным является отношение эквивалентности: найдутся такие (X",j"), что граница дХ" имеет вид и что j"|Х =j, j"|Х' =j'. В случае свободного действия группы Gклассы эквивалентности находятся во взаимно однозначном соответствии с бордизмамиW*(BG) классифицирующего пространства BG.

Результаты последних лет (сер. 70-х гг.) концентрируются в основном вокруг: 1) определения типов орбит при различных дополнительных предположениях о группе Gи многообразии X(см., напр., [6]), 2) классификации Д. г., 3) отыскания связей между глобальными инвариантами многообразия Xи локальными свойствами Д. г. Gв окрестности неподвижных точек Х ^G. В решении этих вопросов важную роль играют методы современной дифференциальной топологии (напр., перестройки), аналог K-теории для векторных G-pacслоений KG -теория [1], теории бордизмов и кобордизмов [3], аналитнч. метод исследования Д. т. G, основанный на изучении псевдодифференциальных операторов в G-расслоениях (см. [2], [7]).

Лит.:[1] Атья М., Лекции по К-теории, пер. с англ., М., 1967; [2] Атья М., Зингер И., "Успехи матем. наук", 1969, т. 24, № 1, с. 127-82; [3] Бухштабер В. М., Мищенко А.