Математическая энциклопедия - действительное число

вещественное число, положительное число, отрицательное число или нуль. Понятие Д. ч. возникло путем расширения понятия рационального числа. Необходимость этого расширения обусловлена как практическим использованием математики при выражении значения любой величины с помощью вполне определенного числа, так и внутренним развитием самой математики, в частности стремлением расширить область применимости ряда операций над числами (извлечение корня, вычисление логарифмов, решение уравнений и т. п.). К общему понятию Д. ч. подошли еще древнегреческие математики в своей теории несоизмеримых отрезков, однако как самостоятельное понятие оно было сформулировано впервые лишь в 17 в. И. Ньютоном (I. Newton) в "Arithmetica Universales": "Число есть не столько совокупность нескольких единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой, однородной с ней принятой за единицу". Строгие теории Д. ч. были построены в конце 19 в. Г. Кантором (G. Cantor), P. Дедекиндом (R. Dedekind) и К. Вейерштрассом (К. Weierstrass).

Действительные числа образуют совокупность элементов, обладающую следующими свойствами.

I. Свойство упорядоченности. Для любых двух чисел а и 6 определено соотношение порядка, т. е. два любых Д. ч. аи bудовлетворяют одному и только одному из следующих соотношений: а<b, а=b или а>b; при этом, если а<bи b<с, то а<с (транзитивность упорядоченности).

II. Свойство oпepaции сложения. Для любой упорядоченной пары чисел аи bопределено такое единственное число, наз. их суммой и обозначаемое через а+b, что выполняются следующие свойства: II1 )а+b=b+а (коммутативность); II2) a+(b+с)=(а+b)+с для любых чисел а, b и с(ассоциативность); II3) существует такое число, наз. нулем и обозначаемое 0, что а+0=а для любого числа а; II4) для любого числа асуществует такое число, наз. противоположным а и обозначаемое через -а, что а+ (-a) = 0; II5) если а<b, то а+с<b+с для любого числа с. Нуль единствен, и для каждого числа единственно противоположное ему число. Для любой упорядоченной пары чисел а и bчисло а+ (-b)наз. разностью чисел а и bи обозначается а-b.

III. Свойство операции умножения. Для любой упорядоченной пары чисел аи bопределено такое единственное число, наз. их произведением и обозначаемое через аb, что: III1) ab=ba (коммутативность); III2) a(bc)=(ab)cдля любых чисел a, bи с (ассоциативность); III3) существует такое число, наз. единицей и обозначаемое через 1, что a1=a для любого числа а; III4) для любого числа а, не равного нулю, существует такое число, наз. обратным данному и обозначаемое через 1/a, что а(1/а)=1; III5) если а<b и с>0, то ac<bc. Эти свойства гарантируют единственность единицы и единственность обратного каждому элементу. Для любой упорядоченной пары чисел аи b, b неравно 0, число a(1/b )наз. частным от деления а на 6 и обозначается a/b.

Число 1+1 обозначается 2, число 2+1 обозначается 3 и т. д. Эти числа 1, 2, 3... наз. натуральными числами. Числа, большие нуля, наз. положительными, а числа, меньшие нуля,отрицательными. Числа наз. целыми числами (считается, что + а=а). Числа вида т/п, где тцелое, а n натуральное, наз. рациональными числами. Они включают в себя все целые числа. Д. ч., не являющиеся рациональными, наз. иррациональными.

IV. Свойство дистрибутивности умножения относительно сложения. Для любой тройки чисел а, bи с( а+b) с=ас+bс.

Совокупность элементов, удовлетворяющих всем перечисленным свойствам, образует линейно упорядоченное поле. Д. ч. обладают еще двумя важными, свойствами.

V. Архимедово свойство. Каково бы ни было число а, существует такое целое число п, что n>а. Совокупность элементов, удовлетворяющих свойствам I V, образует упорядоченное архимедово поле. Таковым является не только совокупность Д. ч., но и множество рациональных чисел.

Существенным свойством Д. ч. является свойство их непрерывности, к-рым рациональные числа не обладают.

VI. Свойство непрерывности. Для всякой системы вложенных отрезков

существует хотя бы одно число, к-рое принадлежит всем отрезкам данной системы. Это свойство наз. также принципом вложенных отрезков Кантора. Если длины b п- а п вложенных отрезков стремятся к нулю при то существует единственная точка, принадлежащая всем этим отрезкам. Из перечисленных свойств Д. ч. следуют многие другие; так, из свойств I V можно получить, что 1>0, правила действий с рациональными дробями, правила знаков при умножении и делении Д. ч., свойства абсолютной величины Д. ч., правила преобразования равенств и неравенств и т. п. Свойства I VI полностью описывают свойства множества Д. ч. и только их, иначе говоря, если эти свойства назвать аксиомами, то окажется, что Д. ч. совокупность элементов, удовлетворяющая аксиомам I VI. Это означает, что аксиомы I VI определяют множество Д. ч. с точностью до изоморфизма: если имеются две совокупности Xи Y, удовлетворяющие свойствам I VI, то всегда существует изоморфное относительно упорядоченности и операций сложения и умножения отображение Xна Y, т. е. указанное отображение, обозначим его через (здесь является элементом, соответствующим элементу взаимно однозначно отображает Xна У так, что если

то

Отсюда следует, что множество Д. ч. (в отличие, напр., от множества рациональных чисел) невозможно расширить с сохранением свойств I V, т. е. не существует множества, в к-ром было бы введено соотношение порядка, операции сложения и умножения, удовлетворяющие свойствам I V, и к-рое содержало бы подмножество, изоморфное множеству Д. ч., и не совпадало бы с ним. Д. ч. существенно больше, чем рациональных чисел, именно рациональные числа составляют счетное подмножество множества Д. ч., которое само несчетно.

Как рациональные, так и иррациональные числа обладают свойством плотности во множестве всех Д. ч.: каковы бы ни были два Д. ч. а и b, а<b, найдутся такое рациональное r, что а<r<b, и такое иррациональное x, что a<x<b.

Со свойством непрерывности Д. ч. тесно связано свойство их полноты, состоящее в том, что всякая фундаментальная последовательность Д. ч. является сходящейся. Следует отметить, что множество одних только рациональных чисел уже не обладает свойством полноты: в нем существуют фундаментальные последовательности, не сходящиеся ни к какому рациональному числу. Свойство непрерывности множества Д. ч. (их полнота) связано с их применением для измерения тех или иных непрерывных величин, например для измерения длин геометрических отрезков: если выбрать отрезок единичной длины, то в силу непрерывности множества Д. ч. каждому отрезку сопоставляется определенное положительное Д. ч.его длина. Образно говоря, непрерывность множества Д. ч. означает, что в нем нет "пустых мест". Из непрерывности множества Д. ч. следует, что из всякого положительного числа можно извлечь корень я-и степени (пнатуральное число) и что всякое положительное число имеет логарифм по любому основанию а>0,

Свойство непрерывности Д. ч. можно сформулировать иначе.

VI'. Всякое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань (см. Верхняя и нижняя грани).

Можно использовать также понятие сечения АВ в области Д.