Математическая энциклопедия - действительное алгебраическое многообразие

множество A = X(R)действительных точек алгебраич. многообразия X, определенного над полем R действительных чисел. Д. а. м. наз. неособым, если Xнеособое алгебраич. многообразие. В этом случае Аявляется гладким многообразием, а его размерность dim Аравна размерности комплексного многообразия СА = Х (С), называемого комплексификацией многообразия А.

Наиболее изучены неособые регулярные полные пересечения, т. е. многообразия Xв проективном пространстве RP^q, являющиеся неособыми регулярными пересечениями гиперповерхностей где

Pi(z)однородный действительный многочлен от qпеременных степени mi. В этом случае матрица имеет ранг s в каждой точке dim A = n=q-s.

Пусть Вобозначает Д. а. м., определяемое усеченной системой

Примеры регулярных полных пересечений:

1) Плоская действительная алгебраич. кривая; при этом q=2, s=l, СВ = СР ², B=RP².

2) Действительная алгебраич. гиперповерхность; при этом s=l, СВ = СР ^q, B = RP^q. В частности, при q=3 получается действительная алгебраич. поверхность.

3) Действительная алгебраическая пространствен" ная кривая; при этом q=3, s=2. Поверхность Взадается уравнением p1(z)=0, а кривая Авысекается на Вповерхностью p2(z)=0.

Плоская действительная алгебраич. кривая Апорядка т 1 состоит в плоскости RP² из конечного числа компонент, диффеоморфных окружности. При т 1 четном все они вложены в RP² двусторонне, а при т 1 нечетном одна компонента вложена односторонне, а остальные двусторонне. Двусторонне вложенная компонента кривой Аназ. овалом кривой А. Овал, лежащий внутри нечетного числа других овалов кривой А, наз. нечетным, остальные овалы наз. четными.

Число компонент плоской действительной алгебраич. кривой порядка т 1 не превосходит (теорема Гарнака), [1]. Для каждого т 1 существует плоская действительная алгебраич. кривая с этим наибольшим числом компонент М-к ривая (о способах построения M-кривых см. [1], [2], [3], об обобщении этих результатов на пространственные кривые см. [2]).

Д. Гильберт (D. Hilbert) в 1900 поставил задачу изучения топологии Д. а.