Математическая энциклопедия - динамическая игра

разновидность позиционных игр, характеризующаяся тем, что в такой игре игроки управляют "движением точки" в пространстве состояний X. Пусть I= {i}множество игроков. Каждой точке соответствует множество Si^(x) элементарных стратегий игрока в этой точке и тем самым множество элементарных ситуаций в х. На Xзаданы переходные функции распределения

представляющие собой закон движения управляемой точки, известный каждому из игроков. Функция Fпри фиксированном хь измерима по всем остальным аргументам. Последовательность Рчередующихся состояний и элементарных ситуаций х 1, s^(x1),... , х k, s^(xk), ... наз. партией общей Д. и.; она определяется индуктивно по следующей схеме: пусть уже определен отрезок партии (дебют) х 1, s^(x1) , ... , х k-1, и каждый игрок iвыбирает свою элементарную стратегию так что складывается элементарная ситуация s^(xk-1); тогда игра переходит случайно, в соответствии с распределением F( Х|x1, s^(x1), ..., х k-1,s^(xk-1) ), в состояние х k. На каждой партии Ропределен выигрыш hi(P)игрока i. Если множество всех партий обозначить то Д. и. задается системой

Обычно в Д. и. считается, что к очередному моменту выбора элементарной стратегии игроки знают предшествующий дебют. В этом случае чистая стратегия si игрока iесть набор функций s^(x)( х 1, s^(x1),... , s^(xk-1), х), ставящих в соответствие заканчивающемуся в хдебюту элементарную стратегию Рассматривались также Д. и., в к-рых игрокам известен не весь предшествующий дебют, напр, игры с "запаздыванием информации".

Для того чтобы игра была определена, необходимо, чтобы каждая ситуация s= {si} индуцировала вероятностную меру ms на множестве всех партий и чтобы для каждого iсуществовало математич. ожидание Ehi(P)по мере ms. Это математич. ожидание и представляет собой выигрыш игрока iв ситуации s.

Функции hi(P), вообще говоря, произвольны; однако более других изучались Д. и. либо с терминальным выигрышем (игра заканчивается, как только х k оказывается в терминальном множестве и hi{P)=hi(xk), где х kпоследнее состояние в игре), либо синтегральным выигрышем

Д. и. могут рассматриваться как игровой вариант задачи оптимального управления с дискретным временем, к каковой они и сводятся, если число игроков равно одному. Если в Д. и.дискретное время заменяется на непрерывное, а случайные факторы устраняются, то получают дифференциальную игру, к-рая, таким образом, может рассматриваться как разновидность Д. и.

Частными классами Д. и. являются стохастические игры, рекурсивные игры и игры на выживание.

Лит.:[1] Воробьев Н. Н., . "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, в. 2, с. 81 -140.

В. К. Доманский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985