Математическая энциклопедия - динамические задачи теории упругости

круг вопросов теории упругости, относящихся к изучению распространения колебаний или состояния установившихся колебании в упругих средах. В простейшем и наиболее важном для приложений случае линейной теории однородных изотропных упругих тел Д. з. т. у. сводятся к разысканию решений уравнения Ламе:

удовлетворяющих в нек-рой области заданным начальным и граничным условиям, здесь и( х, t)=(u1, u2, u3)вектор смещения в точке x=(x1, х 2, х 3 )в момент t, F(x, t)объемные силы, l,m Ламме постоянные, р плотность.

Как уравнение гиперболич. типа уравнение (1,) допускает действительные характеристич. поверхности w(x1, х 2, х 3; t)=0, вдоль к-рых производные решения, вообще говоря, выше 1-го порядка терпят разрывы (слабый разрыв). Поверхность разрыва распространяется в пространстве со скоростью

разделяя в каждый момент времени два решения. Уравнение этой поверхности получается из условия невозможности однозначного определения в ее точках всех производных, исходя из знания первых производных и пользуясь уравнением (1). Из уравнения поверхности разрыва:

следует существование двух скоростей перемещения этой поверхности

Эти скорости являются скоростями перемещения двух видов деформации в линейном упругом изотропном теле: аскорость распространения продольных возмущений, bпоперечных возмущений. Можно также показать, что в нек-рых случаях вдоль границ раздела могут распространяться поверхностные волны, имеющие свои характерные скорости распространения (волны Рэлея на свободной поверхности, волны Стоунли на границе упругих сред).

Изучаются случаи, когда вдоль характеристик терпят разрывы первые производные смещения (сильный разрыв). Если скачки вдоль характеристик терпит лишь нормальная составляющая вектора grad и, а касательные составляющие этого вектора и сами смещения остаются непрерывными, разрыв наз. правильным сильным разрывом. В этом случае на поверхности характеристик соблюдаются условия кинематич. и динамич. совместности, играющие большую роль при решении динамич. задач методом характеристик.

Явление динамич. деформаций упругого тела усложняется, если тело имеет конечную границу. Каждая точка границы, как только ее коснется любой из фронтов распространяющихся возмущений, к-рые сами являются сложными, изменяющимися во времени образованиями, начинает генерировать, по крайней мере, два типа новых деформаций.

Важными частными случаями уравнения (1) являются, случаи, когда поле не зависит от времени (статика) и, когда поле зависит от времени по закону

где и(х)комплексный вектор (амплитуда колебаний), не зависящий от времени, w частота установившихся колебаний. В последнем случае уравнение (1) приводится к эллиптич. системе уравнений относительно амплитуды

Если область D, в к-рой исследуется распространение колебаний, занимает все бесконечное пространство Е 3, для уравнения (1) корректна задача Коши с начальными условиями:

Основную роль играют специальные решения уравнения (1), представляющие смещения бесконечного упругого пространства под влиянием силы, сосредоточенной в единственной точке х ⁰=(х ⁰1, х⁰2, х⁰3 )и равной по величине d(t)(где d(t)дельта-функция Дирака) (фундаментальные решения).

Если сила действует в направлении оси х k, k=1,2, 3, то составляющие смещения имеют следующие значения:

где

Матрица фундаментальных решений Г(х- х ⁰, t)=|| Г kj (х- х ⁰, t)|| размера 3x3, представляет симметричный тензор; решение задачи Коши для уравнения (1) выражается формулой Вольтерра:

4

Для однородной системы (1'), Г kj принимает следующий вид:

Кроме задачи Коши для уравнения (1) корректны смешанные задачи, к-рые приходится рассматривать, когда область Dимеет границу Sв конечной части пространства. При этом существенную роль играют граничные условия на S, к-рые должны быть удовлетворены вместе с условиями (2).

Основными считаются следующие типы граничных задач: первая заданы смещения, вторая заданы напряжения, третья задана линейная комбинация смещений и напряжений, четвертая заданы нормальная составляющая смещения и касательные составляющие напряжения, пятая заданы касательные составляющие смещения и нормальная составляющая напряжения, шестая на одной части Sзаданы смещения и на дополнении напряжения.

В отличие от задачи Коши, к-рая формулой (3) решается до конца в общем виде, решения смешанных задач были получены только в частных случаях. Важнейшими являются: решения в замкнутом виде первой и второй основных смешанных задач для полуплоскости и полупространства, полученные методом комплексных волн и развитием метода характеристик; решения для волнового уравнения в случае шара, полученные методом функционально-инвариантных интегралов; решения нек-рых задач теории упругости развитием этого же метода, решения ряда задач дифракции. В общем случае получить решения в замкнутом виде не удается; если, однако, от этого требования отказаться, весьма общие результаты устанавливаются методами теории потенциалов и теории сингулярных интегральных уравнений.

С помощью фундаментальных решений (4), по аналогии с теорией гармонич. потенциалов, вводятся понятия эластопотенциалов простого и двойного слоев и объемных масс, к-рые позволяют выразить регулярные решения уравнения (1') формулой:

где Топератор напряжения, * знак транспонирования матрицы, e(х)=1, если и е(х)=0, если Первые пять граничных условий, указанных выше, позволяют записать с помощью потенциалов соответствующие задачи в виде двумерных сингулярных интегральных уравнений на замкнутой поверхности S. Доказана разрешимость всех задач для произвольной частоты колебаний со в случае внешней области и существование дискретного действительного неотрицательного спектра собственных частот для внутренних задач. Решения выражаются рядами Фурье по нек-рой полной системе векторов, к-рые строятся с помощью (4), и коэффициенты Фурье определяются явно.

Пусть на границе Sв области D задано смещение u|S=f(y), S1произвольная гладкая замкнутая поверхность, окружающая Sи не имеющая с ней общих точек, и счетное множество точек на S1, распределенное всюду плотно. Через Г ⁱ (х- х 0),(=1, 2, 3, обозначены столбцы матрицы Г(х- х ⁰). Доказывается, что совокупность векторов линейно независима и полна в L2(S).

Элементы этой совокупности пронумерованы следующим образом:

где [п]наибольшая целая часть числа п, и введена ортонормированная совокупность

где aksизвестные числа. Тогда решение задачи во всякой внутренней точке выражается равномерно сходящимся рядом:

где

Конечный отрезок ряда может служить для вычисления приближенных значений решения.

Результаты, установленные для уравнения (1'), позволяют получить решения смешанных задач для уравнения (1) с помощью преобразования Лапласа.