Математическая энциклопедия - динамическая система

в первоначальном значении термина механич. система с конечным числом степеней свободы. Состояние такой системы обычно характеризуется ее расположением (конфигурацией) и скоростью изменения последнего, а закон движения указывает, с какой скоростью изменяется состояние системы.

В простейших случаях состояние можно охарактеризовать посредством величин w1, . . . , wm, к-рые могут принимать произвольные (действительные) значения, причем двум различным наборам величин w1, ..., wm и и w'1, . .. , wm отвечают различные состояния, и обратно, а близость всех w'i к wi означает близость соответствующих состояний системы. Закон движения тогда записывается в виде автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Рассматривая значения w1, . .., wm как координаты точки wв m-мерном пространстве, можно геометрически представить соответствующее состояние Д. с. посредством этой точки w. Последнюю наз. фазовой (иногда также изображающей, или представляющей) точкой, а пространство фазовым пространством системы. (Прилагательное "фазовый" связано с тем, что в прошлом состояния системы нередко называли ее фазами.) Изменение состояния со временем изображается как движение фазовой точки по нек-рой линии (так наз. фазовой траектории; часто, впрочем, ее наз. просто траекторией) в фазовом пространстве. В последнем определено векторное поле, сопоставляющее каждой точке wвыходящий из нее вектор f(w)с компонентами

Дифференциальные уравнения (1), к-рые с помощью введенных обозначений можно сокращенно записать в виде

означают, что в каждый момент времени векторная скорость движения фазовой точки (или, как часто говорят, вектор фазовой скорости; не путать с употреблением того же термина в оптике и вообще при рассмотрении различных волновых процессов) равна вектору f(w), исходящему из той точки wфазового пространства, где в данный момент находится движущаяся фазовая точка. В этом состоит так наз. кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений (1).

Напр., состояние частицы без внутренних степеней свободы (как говорят в. механике, материальной точки), движущейся в потенциальном поле с потенциалом U(x1,x2,x3), характеризуется ее положением х=( х х, х 2,х 3 )и скоростью х;вместо последней можно использовать импульс р = тх, где тмасса частицы. Закон движения можно записать в виде

Формулы (4) представляют собой сокращенную запись системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Фазовым пространством здесь служит 6-мерное евклидово пространство, шесть компонент вектора фазовой скорости суть компоненты обычной скорости и силы, а проекция фазовой траектории на пространство х i (параллельно пространству импульсов) есть траектория частицы в обычном смысле слова.

В ряде случаев оказывается, что невозможно установить такое соответствие между всеми состояниями Д. с. и точками евклидова пространства, к-рое обладало бы желаемыми свойствами, однако такое соответствие можно установить локально, т. е. для состояний, к-рые достаточно близки друг к другу. Сохраняя термин "фазовое пространство" для совокупности всех состояний Д. с, можно сказать, что в общем случае фазовое пространство является не евклидовым пространством, а нек-рым дифференцируемым многообразием W^m.JIoкально, т. е. в любой карте (локальной системе координат) многообразия W^m, движение Д. с. описывается системой дифференциальных уравнений вида (1). Глобальное же (т. е. пригодное для всех состояний Д. с.) и инвариантное (т. е. не зависящее от выбора карты) описание движения дается уравнением (3), в к-ром f является заданным на W^m векторным полем, сопоставляющим каждой точке wвектор f(w), лежащий в касательном пространстве к многообразию в этой точке; уравнение (3) означает, что в процессе движения фазовая точка, совпадающая в данный момент времени с точкой имеет в этот момент скорость f(w). В локальных координатах вектор f(w)представляется посредством своих компонент (2), и (3) сводится к (1). Даже во многих случаях, когда фазовое пространство является евклидовым, часть движений рассматриваемой Д. с. может описываться посредством векторного поля на нек-ром инвариантном многообразии W, т. е. подмногообразии фазового пространства, обладающем тем свойством, что траектория, проходящая через к.-н. точку целиком лежит в W. Так, уже в предыдущем примере, если ограничиться движениями с определенным значением энергии Е, нужно рассматривать систему (4) не во всем 6-мерном евклидовом пространстве переменных ( х, р), а на его 5-мерном подмногообразии, выделяемом уравнением где Инвариантность этого многообразия отражает тот факт, что при движении частицы в потенциальном поле ее энергия сохраняется, т. е. р ²/2т+U(x). является первым интегралом системы (4) (так наз. интеграл энергии). Много аналогичных примеров связано с циклическими координатами.

продолжение Динамическая система...

Примером Д. с. с неевклидовым фазовым пространством является твердое тело с неподвижной точкой О. Если ввести две ортогональные системы координат с началом в Оодну неподвижную, а другую жестко связанную с телом, то очевидно, что положение твердого тела будет характеризоваться расположением второй системы координат относительно первой, т. е. ортогональной матрицей 3-го порядка с определителем 1 (или к.-н. эквивалентным способом, см. Эйлеровы углы, Кэли Клейна параметры). Поэтому совокупность всевозможных положений данной механич. системы (или, как говорят, ее конфигурационное пространство) есть специальная ортогональная группа 3-го порядка SO(3). Фазовым же пространством W⁶ является касательное расслоение группы SO(3), ибо скорость изменения положения характеризуется касательным вектором к SO(3). В качестве локальных координат в SO(3) (выбор таковых автоматически определяет и нек-рые локальные координаты в W⁶ )обычно принимают углы Эйлера; тогда уравнения движения записываются как Эйлера уравнения (движения твердого тела).

Изложенная выше кинематич. интерпретация автономной системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1) [или картина движения фазовых точек в фазовом многообразии согласно уравнению (3)] никак не связана с тем, описывают ли эти уравнения к.-л. механич. систему. Поэтому термин "Д. с." стал применяться в более широком смысле, означая произвольную физич. (скажем, радиотехнич.) систему, описываемую дифференциальными уравнениями вида (1) или (3), а затем и просто систему дифференциальных уравнений такого вида, безотносительно к ее происхождению. Среди всех Д. с. в этом расширенном смысле слова Д. с. механики выделяются нек-рыми специфич. свойствами; большинство из них относится к специальному классу гамильтоновых систем. (Однако в механике рассматриваются и системы, не входящие в этот класс,таково, напр., большинство неголономных систем. В то же время гамильтоновы системы встречаются и в ряде вопросов физики.)

В этом смысле понятие Д. с. эквивалентно понятию автономной системы дифференциальных уравнений вида (1) или (3). Однако практически о Д. с. говорят тогда, когда речь идет о качественной картине поведения всех траекторий во всем фазовом пространстве (глобальная теория) или по крайней мере в нек-рой его части (локальная теория); в теории Д. с. особенно большое внимание уделяется поведению фазовых траекторий при неограниченном возрастании времени. Из отдельных же траекторий в теории Д. с. интересуются обычно теми, свойства к-рых могут в значительной степени влиять на качественную картину, хотя бы локальную. Сюда относятся равновесия положения (или особые точки), периодические траектории (см. также Предельный цикл), сепаратрисы.

Для системы двух уравнений вида (1) ( т=2 )кинематич. интерпретация дает весьма наглядный и эффективный способ исследования, поскольку векторное ноле f(w)и фазовые траектории могут быть практически изображены на фазовой плоскости. Уже в случае трех уравнений ( т=3 )пришлось бы производить соответствующие построения в 3-мерном пространстве, что довольно затруднительно, а при m>3 подобные практич. возможности вообще отпадают. Поэтому при т>3 (а в ряде случаев и при т=2 )роль кинематич. интерпретации состоит в использовании при исследовании дифференциальных уравнений геометрич. понятий, методов и языка, в той или иной степени обобщающих привычные из повседневной жизни геометрич. представления.

Уже сравнительно слабые предположения о векторном поле f(w)(напр., его дифференцируемость) гарантируют то, что для каждой точки существует ровно одно решение w(t)уравнения (3), имеющее w0 своим начальным значением: w(0)=w0. Физически это соответствует тому, что при заданном законе движения (3) состояние системы в любой момент времени полностью определяется ее начальным состоянием. Вообще говоря, это решение может быть определено не для всех t, а лишь на нек-ром отрезке времени. В глобальной теории Д. с. делается дополнительное предположение, что при любом начальном значении соответствующее решение определено при всех t, тогда как в локальных вопросах обычно нецелесообразно делать к.-л. предположения о дальнейшем поведении тех траекторий, к-рые покидают рассматриваемую область фазового пространства.

При выполнении указанного предположения, если каждому сопоставить то состояние, куда перейдет за время tфазовая точка, движущаяся согласно (3) и вышедшая при t=0 из w0, то получится нек-рое отображение St фазового пространства W^m в себя:

где w(t)решение (3) и w(0)=w0. Отображения St образуют непрерывную однопараметрич. группу диффеоморфизмов фазового многообразия W^m[групповое свойство StSs= St+s является следствием автономности системы (3)]. В порядке иллюстрации в литературе нередко проводят аналогию с известным из повседневной жизни и ранее всего изученным в науке примером, где возникает подобное семейство преобразований пространства,стационарным течением жидкости или газа: за время tчастица жидкости перетекает из точки w0 в Stw0. (Впрочем, эта аналогия довольно поверхностна, ибо воображаемая "фазовая жидкость", "текущая" в фазовом пространстве, отличается от реальных сплошных сред отсутствием взаимодействия между соседними частицами.) В связи с этим в качестве синонима термина "Д. с." употребляется термин поток.

В физич. литературе принято говорить об ансамбле динамических систем. Это означает, что каждому из возможных состояний данной физич. системы (т. е. каждой точке фазового пространства) мысленно сопоставляется нек-рая физич. система, описываемая уравнением (3) и находящаяся в этом состоянии; полученную совокупность однотипных систем (никак не взаимодействующих друг с другом), различающихся только состояниями, к-рыми они обладают в данный момент, и называют "ансамблем". На этом языке преобразованиям St фазового пространства соответствует эволюция "ансамбля", заключающаяся в изменении состояния входящих в него систем.

При разработке глобальных аспектов теории Д. с. понятие Д. с. подверглось дальнейшему обобщению. В наиболее широком смысле под динамической системой понимают произвольное действие группы (или даже полугруппы) Gна пек-ром множестве W, именуемом фазовым пространством. Это значит, что для любого определено отображение причем Sg1Sg2=Sg1g2, и если еединица G, то Seтождественное преобразование (т. е. Se(w) = w для всех w). Совокупность точек Sg(w0), где w0 фиксировано, a gпробегает G, наз. траекторией (или орбитой), проходящей через точку w0, или, короче, траекторией этой точки. Группа Gобычно считается топологической группой, фазовое пространство топологическим пространством, или пространством с мерой, а отображение

предполагается, соответственно, непрерывным или измеримым, причем в последнем случае обычно предполагается, что отображения Sg сохраняют меру (т. е. прообраз измеримого подмножества фазового пространства измерим и имеет ту же меру). Соответствующие направления в теории Д. с. наз. топологической динамикой (см. [6], [11]) и эргодической теорией (см. [4], [5], [7], [12]). Если G- группа Ли, Wгладкое многообразие, а отображение (5) гладкое, то говорят о гладкой динамической системе.