Математическая энциклопедия - глобально симметрическое риманово пространство

риманово многообразие М, каждая точка рк-рого является изолированной неподвижной точкой нек-рой ннволютивной нзометрии Sp многообразия М, т. е. есть тождественное преобразование. Пусть G компонента единицы группы изометрий пространства Ми К - стационарная подгруппа точки р. Тогда Мявляется однородным пространством, и отображение есть инволютивный автоморфизм группы G, причем Ксодержится в замкнутой подгруппе всех неподвижных точек автоморфизма Ф и содержит компоненту единицы группы .

Пусть вещественная алгебра Ли, ее инво-лютнвный автоморфизм и k - подалгебра в g, состоящая из всех -неподвижных элементов. Рассмотрим связную подгруппу Кприсоединенной группы , соответствующую подалгебре k. Если группа Ккомпактна, то kназ. компактно вложенной подалгеброй алгебры , а пара наз. ортогональной симметрической алгеброй Ли. Пусть g=k+m - разложение на собственные подпространства автоморфизма , отвечающие собственным значениям 1 и -1. Пара () наз.: а) алгеброй компактного типа, если gкомпактна и полупроста; б) алгеброй некомпактного типа, если g=k+m есть Картана разложение;в) алгеброй евклидова типа, если m абелев идеал в g. Пусть () ортогональная симметрия, алгебра Ли и g=k+m - указанное разложение. Обозначим через подмножество k+im комплексной оболочки алгебры g. Отображение

есть инволютивный автоморфизм алгебры и ( ) есть ортогональная симметрич. алгебра Ли, к-рая наз. двойственной к алгебре (). Если () алгебра компактного типа, то () алгебра некомпактного типа, и наоборот.

Каждое Г. с. р. п. порождает ортогональную симметрич. алгебру Ли (), где g - алгебра Ли группы G, а ( е - единица группы). наз. пространством компактного или некомпактного типа в соответствии с типом порождаемой им пары (). Каждое односвязное Г. с. р. п. Мявляется прямым произведением: где евклидово пространство, и Г. с. р. п. компактного и некомпактного типа соответственно. Для всякого пространства некомпактного типа кривизна в любом двумерном направлении неположительна, а для пространств компактного типа такая кривизна всюду неотрицательна. Любое пространство некомпактного типа диффеоморфно евклидову пространству.

Пусть Г. с. р. п. компактного или некомпактного типа. Рангом lпространства Мназ. максимальная размерность плоского вполне геодезич. подмногообразия в М. Пусть два плоских вполне геодезич. подмногообразия пространства Мразмерности и X - касательный вектор к Мв точке q. Тогда: 1) существует такой элемент что и ; 2) существует такой элемент , что и касательный вектор к Ав точке q.

Пусть ортогональная симметрич. алгебра Ли, a kи т - собственные подпространства автоморфизма , отвечающие собственным значениям 1 и 1. Алгебра наз. неприводимой, если выполняются условия: 1) gполупроста и kне содержит ненулевых идеалов алгебры g;2) алгебра неприводимым образом действует на т. Г. с. р. п. G/K наз. неприводимым, если порождаемая им ортогональная симметрич. алгебра Ли неприводима. Две ортогональные симметрич. алгебры Ли и наз. изоморфными, если существует такой изоморфизм алгебры на , что . Классификация односвязных неприводимых Г. с. р. п. с точностью до пзометрии эквивалентна классификации неприводимых ортогональных симметрич. алгебр Ли с точностью до изоморфизма.

Неприводимые ортогональные симметрич. алгебры Ли компактного типа суть: I. , где компактная простая алгебра Ли и любой ее инволютивный автоморфизм; II. (), где компактная алгебра gявляется прямой суммой двух простых идеалов, к-рые переставляются при помощи автоморфизма .