Математическая энциклопедия - горенштейна кольцо

коммутативное нётерово локальное кольцо, имеющее конечную инъективную размерность (см. Гомологическая размерность). Кольцо Ас максимальным идеалом m и полем вычетов kразмерности пявляется Г. к. тогда и только тогда, когда выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) для и

2) Для любой максимальной А-последовательности (см. Глубина модуля,).идеал неприводим.

3) Функтор определенный на категории A-модулей конечной длины, изоморфен функтору где I инъективная оболочка поля k.

4) Кольцо Аявляется Коэна Маколея кольцом (в частности, все локальные когомологий для ) и совпадает с инъективной оболочкой поля .

5) Для любого A-модуля Мконечного типа существует канонич. изоморфизм (локальная двойственность).

Примерами Г. к. являются регулярные кольца, а также их факторкольца по идеалу, порожденному регулярной последовательностью элементов (полные пересечения).

В случае, когда Г. к. А - одномерная область целостности, Г. к. допускают следующую численную характе-ризацию. Пусть целое замыкание Ав поле частных, кондуктор в , и Тогда кольцо Аесть Г. к. тогда и только тогда, когда . Это равенство впервые доказано для локального кольца неприводимой плоской алгебраической кривой Д. Горенштейном [1]. Локализация Г. к. является Г. к. В связи с этим возникло расширение понятия Г. к.: нётерово кольцо (или схема) наз. кольцом (с х е-мой) Горенштейна, если все локализации этого кольца по простым идеалам (соответственно все локальные кольца схемы) являются локальными кольцами Горенштейна (в первом определении).

Лит.:[1] Gorenstein D., "Trans. Amer. Math. Soc.", 1952, v. 72, p. 414-36; [2] Серр Ж., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., !968; [3] Аврамов Л. Л., Голод Е. С., "Матем. заметки", 1971, т. 9, № 1, с. 53-8; [4] Grоthеndiесk A., Seminaire Bourbaki, 2 ed., P., 1959; [5] его же, Local cohomoloiiy, В.-Hdlb.-N.Y., 1967; [6] HartshorneR., Residues and duality, В.-Hdlb.-N.Y., 1966; [7] Bass H., "Math. Z.", 1963, Bd 82, № 1, S. 8-28.

В. И. Данилов, И. В. Долгачев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985