Математическая энциклопедия - горизонтальное распределение

гладкое распределение на гладком расслоенном пространстве Есо структурной группой Ли G(т. е. гладкое поле линейных подпространств в касательных к Епространствах), к-рое определяет связность в E в том смысле, что все горизонтальные поднятия всех кривых базы являются его интегральными кривыми. Г. р. А должно быть трансверсально к слоям, т. е. в любой точке имеет место прямое разложение

где слой, содержащий у. Эффективные условия на трансверсальное распределение, достаточные, чтобы оно было Г. р., в общем случае весьма сложны. В частном случае, когда Еявляется главным расслоенным пространством Р, они должны гарантировать инвариантность распределения относительно действия группы Gна Р. В этом случае условия даются с помощью формы связности, аннулятором к-рой является Г. р., и находят свое выражение в теореме Картана Лаптева. Из соответствующих структурных уравнений следует, что если гладкие векторные поля Xи Y на Р таковы, что в любой , то имеет на компоненту , где форма кривизны. Следовательно, Г. р. инволютпвно тогда и только тогда, когда определяемая им связность в Рплоская.

Г. р. на пространстве Е, присоединенном к Р, является всегда образом нек-рого Г. р. на Рпри канонич. проекциях тех факторизации, с помощью к-рых строится Е, исходя из P. В общем случае, когда Еполучается факторизацией из по действию Gсогласно формуле и следовательно возникает канонич. проекция каждое Г. р. на

Еполучается как образ , где естественное поднятие В более частном случае, когда Fявляется однородным пространством , пространство Еотождествляется с и каждое Г. р. на Еполучается как образ при канонич. проекции .

Лит.:[1] Номидзу К., Группы Ли и дифференциальная геометрия, пер. с англ., М., 1960; [2] Бишоп Р., Криттенден Р., Геометрия многообразий, пер. с англ., М., 1967; [3] Лумисте Ю. Г., "Матем. сб.", 1966, т. 69, № 3, с. 434-69. Ю. Г. Лумисте.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985