Математическая энциклопедия - грина функция

функция, связанная с интегральным представлением решений краевых задач для дифференциальных уравнений.

Г. ф. краевой задачи для линейного дифференциального уравнения фундаментальное решение уравнения, удовлетворяющее однородным краевым условиям. Г. ф. является ядром интегрального оператора, обратного к дифференциальному оператору, порожденному данным дифференциальным уравнением и однородными краевыми условиями. Г. ф. позволяет найти решения неоднородного уравнения, удовлетворяющие однородным краевым условиям.

Нахождение Г. ф. сводит исследование свойств дифференциального оператора к изучению аналогичных свойств соответствующего интегрального оператора.

Функция Грина для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть L - дифференциальный оператор, порожденный дифференциальным полиномом

и краевыми условиями где

Г. ф. оператора Lназ. функция , удовлетворяющая условиям:

1) непрерывна и имеет непрерывные производные по хдо -го порядка включительно для всех значений x и из сегмента ;

2) при любом фиксированном из интервала функция имеет равномерно непрерывные производные n-го порядка по хв каждом из полусегментов , причем производная ( п-1)-го порядка при удовлетворяет условию

3) в каждом из полусегментов функция , рассматриваемая как функция от х, удовлетворяет уравнению и краевым условиям Ujx[G]=0, j=1, 2,..., n.

Если краевая задача имеет лишь тривиальные решения, то оператор Lимеет и притом только одну Г. ф. (см. [1]). При этом для любой функции , непрерывной на сегменте , существует решение краевой задачи , и это решение задается формулой

Если оператор имеет Г. ф. , то сопряженный оператор также имеет Г. ф., к-рая равна Если, в частности, оператор Lсамосопряженный то есть Г. ф. в этом случае является эрмитовым ядром. Напр., Г. ф. самосопряженного оператора L2-го порядка, порожденного дифференциальной операцией с действительными коэффициентами

и краевыми условиями имеет вид:

Здесь произвольные решения уравнения , удовлетворяющие соответственно условиям где W - определитель Вронского (вронскиан).решений и , причем можно показать, что Сне зависит от .

Если оператор Lимеет Г. ф., то краевая задача на собственные значения эквивалентна интегральному уравнению

к которому применима теория Фредгольма. Поэтому краевая задача может иметь не более счетного числа собственных значений у которых отсутствуют конечные предельные точки. Сопряженная задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности. Для каждого , не являющегося собственным значением оператора L, можно построить Г. ф. оператора , где I тождественный оператор. Функция является мероморф-ной функцией параметра ; ее полюсами могут быть лишь собственные значения оператора L. Если кратность собственного значения равна единице, то

где регулярна в окрестности точки , а

и собственные функции операторов и , отвечающие собственным значениям и и нормированные так, что

Если имеет бесконечно много полюсов и при том только 1-го порядка, то существует полная биортогональная система

собственных функций операторов . Если занумеровать собственные значения в порядке возрастания их абсолютных величин, то интеграл

равен частичной сумме

разложения функции по собственным функциям оператора . Положительное число Rвыбирается так, чтобы на окружности функция была регулярной по . Для регулярной краевой задачи и для любой кусочно гладкой функции в интервале выполняется равенство

т. е. имеет место разложимость в сходящийся ряд (см. [1]).

Если Г. ф. оператора имеет кратные полюсы, то ее главная часть выражается через канонич. системы собственных и присоединенных функций операторов и (см. [2]).

Выше рассматривался случай, когда краевая задача Ly=0 не имела нетривиальных решений. Если же эта краевая задача имеет нетривиальные решения то вводят так наз. обобщенную Грина функцию. Пусть, напр., имеется ровно тлинейно независимых решений задачи . Тогда существует обобщенная Г. ф. , к-рая обладает свойствами 1) и 2) обычной Г. ф., при удовлетворяет как функция хкраевым условиям и, кроме того, является решением уравнения

здесь система линейно независимых решений сопряженной задачи , а произвольная биортогональная ей система непрерывных функций. Тогда

есть решение краевой задачи , если функция f(x).непрерывна и удовлетворяет условию разрешимости, т. е. ортогональна всем .

Если одна из обобщенных Г. ф. оператора L, то любая другая обобщенная Г. ф. может быть представлена в виде

где -полная система линейно независимых решений задачи произвольные непрерывные функции (см. [3]).

Функция Грина для дифференциальных уравнений с частными производными. 1) Эллиптические уравнения. Пусть А - эллиптический дифференциальный оператор порядка т, порожденный дифференциальным полиномом

в ограниченной области и однородными краевыми условиями , где граничные операторы с коэффициентами, определенными на границе области , к-рая предполагается достаточно гладкой. Функция наз. Г. ф. оператора А, если при любом она удовлетворяет однородным краевым условиям и, рассматриваемая как обобщенная функция, удовлетворяет уравнению

В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения однородной краевой задачи, Г. ф. существует и решение краевой задачи представляется в виде (см. [4])

В этом случае для Г. ф. справедливы равномерные при оценки

и Г. ф. равномерно ограничена, если .

Краевая задача на собственные значения эквивалентна интегральному уравнению

для к-рого применима теория Фредгольма (см. [5]). При этом Г. ф. сопряженной краевой задачи равна Отсюда, в частности, следует, что может существовать не более чем счетное число собственных значений и что они не имеют конечных предельных точек, а сопряженная краевая задача имеет комплексно сопряженные собственные значения той же кратности. Для уравнений 2-го порядка Г. ф. изучена полнее, поскольку явно выписывается вид особенности фундаментального решения. Так, для оператора Лапласа Г. ф. имеет вид

где гармоническая в области функция, выбранная таким образом, чтобы Г. ф. удовлетворяла краевому условию.

Г. ф. первой краевой задачи для эллиптич. оператора 2-го порядка с гладкими коэффициентами в области Wс границей дWтипа Ляпунова позволяет выразить решение задачи

в виде

где производная по внешней конормалн для оператора .

В случае, если однородная краевая задача имеет нетривиальные решения, то, как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, вводится обобщенная Г. ф. Так, напр., в случае второй краевой задачи для оператора Лапласа существует обобщенная Г. ф., наз. Неймана функцией (см. [3]).

2) Параболические уравнения. Пусть Р - параболический дифференциальный оператор порядка т, порожденный дифференциальным полиномом

и однородными начальным и краевыми условиями

где граничные операторы с коэффициентами, определенными при . Г. ф. оператора Рназ. функция , к-рая для любых и удовлетворяет по ходнородным краевым условиям, является при решением уравнения

и для любой непрерывной функции удовлетворяет соотношению

В случае операторов с гладкими коэффициентами и нормальных граничных условий, обеспечивающих единственность решения задачи , Г. ф. существует, и решение уравнения

удовлетворяющее однородным краевым условиям и начальному условию , имеет вид

При изучении эллиптич. или параболич. систем вместо Г. ф. вводится понятие матрицы Грина, к-рая позволяет выразить решения однородных краевых задач для указанных систем в виде интегралов от произведений матрицы Грина на векторы правых частей и начальных условий (см. [7]).

Г. ф. наз. по имени Дж. Грина (G. Green), впервые рассмотревшего один ее частный случай в своем исследовании по теории потенциала (1828).

Лит.:[1] Наймарк М. А., Линейные дифференциальные операторы, 2 изд., М., 1969; [2] Келдыш М. В., "Докл. АН СССР", 1951, т. 77, № 1, с. 11 14; [3] Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; [4] Берс Л., Джон Ф., Шехтер М., Уравнения с частными производными, пер. с англ., М., 1966; [5] Garding L., "Math, scand.", 1953, v. 1, № 1, S. 55-72; 16] Фридман А., Уравнения с частными производными, параболического типа, пер. с англ., М., 1968; [7] Эйдельман С. Д., Параболические системы, М., 1964. Ш. А. Алимов, В. А. Ильин.