Математическая энциклопедия - грина формулы

формулы интегрального исчисления функций многих переменных, связывающие значения га-кратного интеграла по области D n -мерного евклидова пространства и -кратного интеграла по кусочно гладкой границе этой области. Г. ф. получаются интегрированием по частям интегралов от дивергенции векторного поля, непрерывного в и непрерывно дифференцируемого в В простейшей Г. ф.

криволинейный интеграл по контуру Г выражается через двойной интеграл по области . При этом область Dориентируется естественным образом, а на границе Г берется индуцированная ориентация, известная как обход против часовой стрелки. Формула (1) имеет простой гидродинамич. смысл: поток через границу области Г жидкости, текущей по плоскости со скоростью , равен интегралу по области

Dот интенсивности (дивергенции)

распределенных в Dисточников и стоков. В этом смысле Г. ф. (1) подобна Остроградского формуле (см. также Стокса формула).

Формула (1) иногда наз. именами К. Гаусса (С. Gauss) и Б. Римана (В. Riemann). Ни одно из употребляемых названий не является исторически верным: формула (1) встречалась еще в работах по анализу 18 в. у Л. Эйлера (L. Euler) и др.

Дж. Грину [1] принадлежат следующие Г. ф. потенциала теории

-подготовительная Г. ф. и

где D - область , элемент объема элемент площади , единичная внешняя (ко)нормаль к Г,

оператор дифференцирования в направлении (ко) вектора N, а

оператор Лапласа.

Формулы (2), (3) справедливы и в случае, когда Dесть область элемент объема элемент ( п-1)-мерного объема Г, а

оператор Лапласа с пнезависимыми переменными.

Обобщения Г. ф. (2) и (3) для линейных дифференциальных операторов с частными производными с достаточно гладкими коэффициентами имеют вид:

1) если

(вещественно) сопряженные дифференциальные операторы второго порядка, , то

где единичный (ко)вектор внешней нормали к Г,

оператор дифференцирования по направлению так наз. конормали

оператора L;

2) если

где М - конормаль оператора L,a

3) если

(вещественно) сопряженные дифференциальные операторы порядка целочисленный мультииндекс длины ,

то

Здесь граничный интеграл можно записать в виде билинейной суммы

где нек-рые линейные дифференциальные операторы порядков .