Математическая энциклопедия - грина отношения эквивалентности

на полугруппе бинарные отношения заданные следующим образом: означает, что хи у порождают совпадающие левые главные идеалы; и имеют аналогичный смысл с заменой "левые" на "правые" и "двусторонние" соответственно; (объединение в решетке отношений эквивалентности); . Отношения перестановочны в смысле умножения бинарных отношений, так что совпадает с их произведением. Отношение является правой конгруэнцией, т. е. стабильно справа: влечет для любого с;отношение есть левая конгруэнция (стабильно слева). -класс и -класс пересекаются тогда и только тогда, когда они лежат в одном и том же -классе. Все -классы, лежащие в одном -классе, равномощны. Если -класс содержит регулярный элемент, то все элементы из регулярны, причем вместе с любым своим элементом содержит и все инверсные к нему; такой -класс наз. регулярным. В регулярном -классе каждый -класс и каждый -класс содержит идемпотент. Если Нпроизвольный -класс, то либо Нявляется группой (это имеет место тогда и только тогда, когда Несть максимальная подгруппа данной полугруппы), либо . Все групповые -классы из одного и того же -класса суть изоморфные группы. В общем случае , но, напр., если нек-рая степень каждого элемента полугруппы Sлежит в подгруппе (в частности, если S периодическая полугруппа), то . Отношение включения главных левых идеалов естественным образом определяет отношение частичного порядка на множестве -классов; аналогично, для -классов и -классов. Рассматриваемые отношения были введены Дж. Грином [1].

Лит.:[1] Green J., "Ann. Math.", 1951, v. 54, p. 163172; [2] Ляпин Е. С., Полугруппы, М., 1960; [3] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., тт. 1 и 2, М., 1972; [4] Алгебраическая теория автоматов, языков и полугрупп, пер. с англ., М., 1975; [5] Hofmann К., Mostert P., Elements of compact semigroups, Columbus (Ohio), 1966. Л. Н. Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985