Математическая энциклопедия - грубая система

структурно устойчивая (динамическая) система,гладкая динамическая система, обладающая свойством: для любого найдется такое , что при любом ее возмущении, отстоящем от нее в С ¹ -метрике не более чем на б, существует гомеоморфизм фазового пространства, к-рый сдвигает точки не более чем на е и переводит траектории невозмущенной системы в траектории возмущенной. Формально определение предполагает заданной нек-рую риманову метрику на фазовом многообразии. Фактически о Г. с. обычно говорят либо когда фазовое многообразие замкнуто, либо когда траектории входят в нек-рую компактную область Gс гладкой границей, не касаясь последней, причем возмущение и гомеоморфизм рассматривают только на G. Ввиду компактности выбор метрики не играет роли.

Таким образом, при малом (в смысле ) возмущении Г. с. получается система, эквивалентная исходной по всем своим топологич. свойствам (однако приведенное определение содержит еще дополнительное требование, чтобы эта эквивалентность осуществлялась посредством гомеоморфизма, близкого к тождественному).

Иногда термины "грубость" и "(структурная) устойчивость" употребляют в более широком смысле, напр, имея в виду только сохранение при малых возмущениях того или иного свойства системы (в этом случае лучше говорить о грубости данного свойства). См. также Локальная грубость.

Г. с. были введены А. А. Андроновым и Л. С. Понтря-гиным [1]. При малой размерности фазового многообразия (единица для дискретного времени и единица или два для непрерывного) Г. с. допускают простую характеристику в терминах качественных свойств поведения траекторий (это так наз. Морса Смейла системы).и образуют открытое всюду плотное множество в пространстве всех динамич. систем, снабженном С ¹ -тополо-гией (см. [1], [2]; таким образом, системы с более сложным и более чувствительным к малым возмущениям поведением траекторий можно в этом случае рассматривать как исключительные). В больших размерностях ни один из этих фактов не имеет места, как установил С. Смейл (S. Smale, [3]). Он высказал гипотезу, что, несмотря на все эти усложнения, можно и в общем случае сформулировать необходимые и достаточные условия грубости в терминах качественной картины поведения траекторий, а именно: 1) неблуждающие точки должны образовывать гиперболическое множествоW, в к-ром всюду плотны периодич. траектории (так наз. аксиома А Смейла); 2) устойчивое и неустойчивое многообразия любых двух траекторий из W должны пересекаться трансверсально (строгое условие трансверсальности). Достаточность этих условий доказана почти в полной общности, необходимость, пока что (70=е гг. 20 в.) удается доказать лишь при нек-ром видоизменении определения грубости (см., напр., [4] или [5]).

Лит.:[1] Андронов А. А., Понтрягин Л, С., "Докл. АН СССР", 1937, т. 14, № 5, с. 247-50; [2] Реixоtо М. М., "Topology", 1962, v. 1, № 2, р. 101-20; 1963, V. 2, № 2, р. 179-80; [3] Смейл С., "Успехи матем. наук", 1970, т. 25, №1, с. 113-85; [4] Кушниренко А. Г., Каток А. Б., Алексеев В. М., Гладкие динамические системы, "Девятая летняя матем. школа. Ин-т матем. АН УССР", К., 1972, с. 50-341; [5] Нитецки 3., Введение в дифференциальную динамику, пер. с англ., М., 1975. Д. В. Аносов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985