Математическая энциклопедия - групп многообразие

класс всех групп, удовлетворяющих фиксированной системе тождественных соотношений

где vпробегает нек-рое множество Vгрупповых слов, т. е. элементов свободной группы X со свободными образующими x1,..., xn ... . Как и всякое алгебраических систем многообразие Г. м. может быть определено также замкнутостью относительно подсистем (подгрупп), гомоморфных образов и декартовых произведений. Наименьшее многообразие, содержащее данный класс групп, обозначается . Относительно операций пересечения многообразий и объединения многообразий, определяемого формулой Г. м. образуют полную модулярную, но не дистрибутивную решетку. Произведение многообразий и определяется как Г. м., состоящее из всех групп G, обладающих нормальной подгруппой такой, что Каждое Г. м., отличное от многообразия единичных групп и многообразия всех групп, однозначно представило в виде произведения далее неразложимых Г. м.

Примеры Г. м.: многообразие всех абелевых групп, бернсайдово многообразие всех групп экспоненты (показателя) п, определяемое тождеством , многообразие многообразие всех нильпотентных групп класса , многообразие всех разрешимых групп длины , в частности при многообразие метабелевых групп.

Пусть нек-рое свойство групп. Говорят, что Г. м. обладает свойством (локально обладает свойством ), если каждая группа из (каждая конечно порожденная группа из ) обладает свойством . Именно в этом смысле говорят, что многообразие нильпотентное, локально нилытотентное, локально конечное и т. д.

Свойства разрешимого Г. м. зависят от Так, если , то при нек-рых подходящих пи с(см. [2], [3]). Описание метабелевых Г. м. в значительной степени сводится к описанию локально конечных Г. м.: если метабелево многообразие не локально конечно, то

где однозначно представимо в виде объединения конечного числа Г. м. вида локально конечно [4]. Некоторые локально конечные метабелевые многообразия описаны, напр, многообразия />-групп класса (см. [5]).