Математическая энциклопедия - идемпотентов полугруппа

идемпотентная полугруппа, полугруппа, каждый элемент к-рой есть идемпотент. И. п. наз. также связкой (это согласуется с понятием связки полугрупп:И. п. есть связка одноэлементных полугрупп). Коммутативная И. п. наз. полуструктурой, или полурешеткой; этот термин согласуется с его употреблением в теории частично упорядоченных множеств: если коммутативную И. п. Sрассмотреть относительно естественного частичного порядка, то ab будет наибольшей нижней гранью элементов Всякая полурешетка есть подпрямое произведение двухэлементных полурешеток. Полугруппа Sназ. сингулярной, если Sудовлетворяет одному из тождеств ху=х, ху=у, в первом случае Sназ. левосингулярной, или полугруппой левых нулей, во втором правосингулярной, или полугруппой правых нулей. Полугруппа наз. прямоугольной, если она удовлетворяет тождеству хух=х (этот термин используется иногда и в более широком смысле, см. [1]).

Следующие условия для полугруппы S эквивалентны: 1) S прямоугольна, 2) Sесть идеально простая И. п. (см. Про стая полугруппа), 3) Sесть вполне простая полугруппа идемпотентов, 4) S изоморфна прямому произведению LR, где Lлевосингулярная, а Rправосингулярная полугруппы. Всякая И. п. является клиффордовой полугруппой и разлагается в полурешетку (см. Связка полугрупп )прямоугольных полугрупп. Это разложение служит исходным пунктом при изучении многих свойств И. п. Любая И. п. локально конечна.

И. п. изучались с разных точек зрения, в том числе с точки зрения теории многообразий. Решетка всех подмногообразий многообразия B всех И. п. полностью описана в [4] [6]; она счетна и дистрибутивна, каждое подмногообразие ее может быть задано внутри одним тождеством. Диаграмму этой решетки см. на рис.; там же указаны тождества, задающие в многообразия из нескольких нижних "этажей".

Лит.:Ll] Клиффорд А., Престон Г., Алгебраическая теория полугрупп, пер. с англ., т. 1-2, М., 1972; [2] McLean D.,"Amer. Math. Monthly", 1954, v. 61, № 2, p. 110-13; [3] Kimura N.. "Pacif. J. Math.", 1958, v. 8, p. 257-75; [4] Бирюков А. П., "Алгебра и логика", 1970, т. 9, № 3, с. 255-73; [5J Gerhard J., "J. Algebra", 1970, v. 15, № 2, p. 195-224; [6] Fennemоrе С п., "Math. Nachr.", 1971, Bd 48, № 1-6, S. 237-62.

Л. Н. Шеврин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985