Математическая энциклопедия - каскадный метод

метод Лапла с. - метод теории дифференциальных уравнений с частными производными, позволяющий в нек-рых случаях находить общее решение линейного уравнения с частными производными гиперболич. типа

построив последовательность уравнений

через решения к-рых выражается решение уравнения (1).

Уравнение (1) может быть записано в одном из следующих видов:

где

Функции hи кназ. инвариантами уравнения (1).

При h=0 решение уравнения (1) сводится к интегрированию обыкновенных дифференциальных уравнений и его решение имеет вид:

где Xи Y произвольные функции, зависящие соответственно от хи у. Аналогично, если k=0, то решение уравнения (1) запишется следующим образом:

В случае решение иуравнения (1) может быть получено из решения u1 уравнения (21), коэффициенты a1, b1, с 1 и правая часть f1 к-рого имеют вид:

по формуле

Для уравнения (21 )инварианты h1 и k1 выражаются по формулам

Если h1=0, то решение и 1 уравнения (21) получается описанным выше способом; если h1=0, то процесс продолжается дальше построением уравнений (2i), при i=2, 3,..., через решения последовательности уравнений с помощью квадратур выражается решение уравнения (1). В случае можно построить аналогичную цепочку уравнений (2i) при i= -1, -2, .... Если на каком-нибудь шаге hi (или ki) обратится в нуль, то общее решение уравнения (1) находится в квадратурах. К. м. может быть использован для перехода от данного уравнения к уравнению, для к-рого легче применить какой-либо другой из известных аналитических или численных методов решения; для получения семейств уравнений, решения к-рых известны и коэффициенты к-рых достаточно хорошо аппроксимируют коэффициенты уравнений, встречающихся в важных прикладных задачах; для получения основных операторов в теории возмущений операторов.

К. м. указан П. Лапласом [1] в 1773 и развит Г. Дарбу [2].

Лит.:[1] Laplace P. S., Oeuvres completes, t. 9, P., 1893, p. 5-68; [2] Darboux G., Lecons sur la theorie generale des surfaces, 2 ed., t. 2, P., 1915; [3] Tpикоми Ф., Лекции по уравнениям в частных производных, пер. с итал., М., 1957, с. 177-86; [4] Бабич В. М. и др., Линейные уравнения математической физики,М., 1964; [5] Домбровский Г. А., Метод аппроксимации адиабаты в теории плоских течений газа, М., 1964; [6] Чекмарев Т. В., "Изв. ВУЗов. Математика", 1972, №11, с. 72-9; [7] Пашковский В. И., "Дифференциальные уравнения", 1976, т. 12, № 1, с. 118-28.

В. И. Пашковский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985