Математическая энциклопедия - кибернетика

наука об управлении, связи и переработке информации (буквально "искусство управления рулем"). Первым, кто употребил этот термин для управления в общем смысле, был, по-видимому, древнегреческий философ Платон. А. М. Ампер (А. М. Ampere, 1834) предложил называть К. науку об управлении человеческим обществом. Н. Винер (N. Wiener, 1948) назвал К. науку об управлении и связи в живом организме и машине. На дальнейшее становление К. огромное влияние оказали электронные вычислительные машины (ЭВМ). К началу 70-х гг. 20 в. К. окончательно оформилась как наука физико-математ. профиля с собственным предметом исследования так наз. кибернетич. системами. Кибернетические системы представляют собой абстракцию под определенным (информационным) углом зрения сложных систем, изучаемых широким спектром естественных, технических и социальных наук (под своими специфическими углами зрения). Выявляя общие аспекты в системах столь различной природы, К. вместе с тем дает общий и притом принципиально новый метод их изучения. Это так наз. метод машинного эксперимента, промежуточный между классическим дедуктивным и классическим экспериментальным методами. Благодаря этому К., подобно математике, можно использовать в качестве аппарата исследования в других науках. Причем спектр проблем, доступных исследованию кибернетич. методами, по сравнению с классическими (аналитическими) математич. методами значительно шире и охватывает практически все науки. Кибернетическая система в простейшем случае может сводиться к одному элементу. Элемент Акибернетич. системы, рассматриваемый в абстрактном плане, представляет собой набор {х, у, z, f, g)пяти объектов. Через x=x(t)обозначается так наз. входной сигнал элемента, т. е. конечное множество функций времени t:x=(x1(t), ..., xk(t)). Во многих конкретных кибернетич. системах время рассматривается как параметр, принимающий лишь дискретные множества значений (обычно целочисленные значения). Однако можно, не нарушая общности, рассматривать и обычное "непрерывное" время (ниже рассматривается именно этот случай). Области значений функций x,(t)в одном и том же элементе могут быть различными множествами действительных чисел. Чаще всего в качестве областей значений фигурируют обычные непрерывные числовые интервалы, множество целых чисел и различные его конечные подмножества. Сами функции x,(t)обычно предполагаются кусочно непрерывными. Буквой уобозначается выходной сигнал y=y(t)элемента, представляющий собой конечное множество функций у=(y1(t), . . ., ym(t))той же самой природы, что входные функции xi(t). Через z=z(t)обозначено внутреннее состояние элемента А, также характеризующееся конечным множеством функций z= (z1(t), . ..., zn(t))той же природы. Через fи gобозначены функционалы, задающие текущие значения внутреннего состояния z(t)и выходного сигнала y(t):

Здесь через Dtz(t)обозначено сужение векторной функции на область, задаваемую системой полуоткрытых интервалов [tl, t),. . ., [t п, t), где ti = ti(t) заданные кусочно непрерывные функции от t, удовлетворяющие условию ti<t, i=l, 2, . . ., п. Приведенное определение элемента кибернетич. системы предполагает, что время tможет принимать любые действительные значения. На практике в большинстве случаев эти значения ограничиваются лишь неотрицательными числами. При этом определение элемента должно быть дополнено заданием его начального состояния z0=z(0), а также, возможно, заданием начального выходного сигнала у 0=у(0). Зависимости (1) рассматриваются в таком случае лишь при положительных значениях t. Другое обстоятельство связано с тем, что наряду с детерминированными элементами в кибернетич. системах часто приходится иметь дело со стохастич. элементами. Для этого обычно о :азывается достаточным в правые части соотношений (1) добавить в качестве аргументов функционалов случайную функцию w(t), принимающую значения на непрерывном или дискретном множестве действительных чисел.

Возможны и другие варианты обобщений этого определения, в частности введение бесконечномерных векторных функций для входных и выходных сигналов, а также для внутреннего состояния элемента. Однако следует иметь в виду, что, в отличие от математики, для К. характерен конструктивный подход к изучаемым объектам. Это означает возможность фактического вычисления (с той или иной степенью точности) значений всех рассматриваемых функций. Поэтому на практике рано или поздно при изучении кибернетич. систем, а следовательно, и их элементов приходится переходить к конечным аппроксимациям.

Многоэлементные кибернетические системы строятся из набора (обычно конечного) Мэлементов путем отождествления выходных сигналов одних элементов с входными сигналами других. Формально такие отождествления задаются системой равенств

где через x^pi(t)обозначена i-я компонента входного сигнала р-го элемента, а через y^rj(t)j-я компонента выходного сигнала r-го элемента. При подобном отождествлении (соединении элементов в систему) часть компонент входных сигналов тех или иных элементов может оказаться свободной, т. е. не отождествленной ни с какими выходными компонентами. Все такие компоненты объединяются в векторный входной сигнал x(t)построенной системы S. Оставшиеся свободными компоненты выходных сигналов образуют выходной сигнал y(t)построенной системы. В отличие от входного сигнала в выходной сигнал y(t)могут быть включены (по определению строящейся системы) также любые несвободные компоненты выходных сигналов, составляющих систему S элементов. Начальным состоянием системы, по определению, считается вектор, составленный из компонент начальных состояний всех ее элементов (упорядоченных тем или иным образом). Аналогичным образом определяется и вектор z(t)состояния системы в произвольный момент времени.

Определяя систему множеством элементов и множеством отождествляющих соотношений (2), необходимо обеспечить корректность такого определения, под к-рой понимается возможность фактического вычисления выходного сигнала y(t)для всех i>0 при задании начального состояния системы z(0) и входного сигнала х(t)для всех Необходимым условием корректности определения системы является, напр., вхождение области значений функции y^rj(t). в соотношениях (2) в область значений функции x^pi(t). Для упрощения задачи обеспечения корректности определения систем обычно вводится запрет на отождествление любой входной компоненты более чем с одной выходной компонентой.

Множество соотношений (2) задает структуру кибернетич. системы (не путать с абстрактным понятием структуры в математике!). В ряде приложений оказывается полезным рассмотрение систем с переменной структурой. При этом, вводя дополнительные коммутационные элементы, можно любую систему с переменной структурой свести к системе с постоянной структурой.

Приведенное определение абстрактной кибернетич. системы охватывает весьма большой круг конкретных систем, рассматриваемых в различных областях знания. К их числу относятся логические сети и сети абстрактных автоматов, механические динамич. системы, различного рода электромеханические и электронные устройства (включая ЭВМ), биологич. организмы и различные их подсистемы (напр., нервная система), экологические, экономические и социальные системы. Для возможности рассмотрения конкретных биологических, технических и социальных систем в качестве абстрактных кибернетич. систем необходимо отвлечься от большинства их специальных свойств (размеров, массы, химич. состава, многих конкретных форм представления сигналов и состояний и т. д.).

Кибернетический аспект рассмотрения систем является аспектом чисто информационным. Иными словами, состояния элементов и взаимодействие элементов друг с другом описываются системой кодов прежде всего для установления меры их различия (при заданной точности описания), а не для фактич. измерения тех или иных реальных физич. величин. Напр., при наличии в электрич. сети лишь двух уровней напряжения v1 и v2 их можно задать числовыми кодами О и 1, независимо от фактич. величин этих напряжений. Заметим, что хотя в приведенном выше определении кибернетич. системы употреблялись лишь числовые коды, их нетрудно, в случае необходимости, заменить буквенно-цифровыми кодами с использованием букв любых конечных алфавитов.

Всякая система, имеющая нетривиальный входной сигнал x(t)и выходной сигнал y(t), может рассматриваться как преобразователь информации, перерабатывающий поток информации х(t)в поток информации y(t). В случае дискретного времени и конечных областей определения функций x(t)и y(t)преобразование (при соответствующем кодировании входной информации) можно интерпретировать как соответствие между словами в той или иной паре фиксированных алфавитов. В этом случае система может рассматриваться как дискретный преобразователь информации. Системы с нетривиальным входным сигналом х(t)наз. открытыми. В отличие от них замкнутые системы не оставляют свободных входных компонент ни у одного из своих элементов. Вектор входнего сигнала x(t)в таких системах имеет нулевое число компонент и не может, следовательно, нести никакой информации. Замкнутые системы в строгом смысле слова не должны иметь не только входа, но и выхода. Однако даже в этом случае их можно интерпретировать как генераторы информации, рассматривая изменение их внутреннего состояния z(t)во времени. В дальнейшем генерацию удобно рассматривать как частный случай преобразования информации.

Для кибернетич. систем важное значение имеют задачи их анализа и синтеза. Задача анализа системы состоит в нахождении различного рода свойств задаваемого системой преобразования информации, в частности представление в удобной форме алгоритма преобразования. В последнем случае речь идет фактически об агрегации (композиции) системы в один единственный элемент. Задача синтеза системы противоположна задаче анализа. Необходимо по описанию осуществляемого системой преобразования построить систему, фактически выполняющую это преобразование. При этом должен быть предварительно определен класс элементов, из к-рых должна строиться искомая система.

Важное значение имеет задача нахождения формальных преобразований кибернетич. систем, не меняющих задаваемых ими преобразований (а, возможно, и нек-рые другие инварианты). Тем самым вводятся различные определения эквивалентности систем, делающие возможными постановку задач оптимизации систем, т. е. задач нахождения в классе эквивалентных систем системы с экстремальными значениями определяемых на системах функционалов.

Задача декомпозиции системы означает представление части системы или всех ее элементов в виде систем, состоящих из более мелких элементов (подсистем). Для большого числа применений важное значение имеют системы, представляемые в виде комбинации двух подсистем (элементов), наз. обычно управляющей системой и объектом управления. Для наглядности подобную систему можно представить в виде графа (см. рис.), где через Аобозначена управляющая система, через Вобъект управления; буквой хобозначен так наз. канал прямой связи (выход элемента А, отождествленный с входом элемента В), через уканал обратной связи, через авходной сигнал системы (воздействие окружающей среды, различного рода помехи) и через b выходной сигнал, характеризующий качество функционирования подсистемы В(качество управления).

Для подобных систем задача синтеза ставится обычно следующим образом: при заданной системе В, заданном классе внешних воздействий аи заданном критерии качества управления b построить управляющую систему А, обеспечивающую заданное поведение критерия качества b. Под такое определение попадают задачи синтеза систем программного управления (Ь заданная векторная функция времени), следящие системы (минимизирующие в том или ином смысле вектор b-а), системы оптимального управления (системы, выводящие объект управления в желательную область значений его состояния за кратчайшее время) и т. п.

Важное место в теории кибернетич. систем занимают задачи обеспечения надежности их функционирования. Причем, кибернетич. аспект надежности связан не с обеспечением физич. надежности элементов и связей между ними, а с вопросами организации самой системы (избыточность элементов и связей, специальные системы кодирования и т. п.).

Для достаточно простых систем большинство из перечисленных задач (если не в полных, то хотя бы в упрощенных постановках) могут быть решены средствами классич. математики, дополненными тривиальным перебором вариантов. Для сложных систем, с к-рыми приходится обычно иметь дело на практике, эти методы оказываются, как правило, непригодными. При этом сложность систем в К. понимается не только и не столько в простом количественном смысле (число элементов системы, число связей, размерность векторов состояний, входов и выходов), а прежде всего в принципиальном качественном смысле. Сложной в этом смысле наз. система, не имеющая простых описаний. А это предполагает наряду с большими количествами используемых элементов и параметров большое их разнообразие (не сводящееся к простым закономерностям), а также большое разнообразие и нерегулярность связей между элементами. Эффективное исследование таких систем классическими дедуктивными методами оказывается практически невозможным. Классический экспериментальный метод исследования также оказывается применимым лишь в весьма ограниченных пределах. Во многих случаях его применение ограничивается высокой стоимостью эксперимента, а в ряде случаев (метеорология, экология, макроэкономика и др.) натурные эксперименты становятся либо вовсе невозможными, либо по крайней мере чересчур рискованными.

Поэтому в качестве основного метода исследования сложных систем К. использует метод машинного эксперимента, превратившийся в новый мощный универсальный метод научного познания в результате появления быстродействующих универсальных ЭВМ. Метод машинного эксперимента в чистом виде основан на использовании так наз. имитационных моделей. Такие модели по существу являются простым переложением на машинный язык описаний моделируемых систем. Специальные программы, обслуживающие модель, генерируют различные конкретные реализации входного сигнала х(t)моделируемой системы и . строят в соответствии с введенным в ЭВМ описанием системы (включая ее начальное состояние) выходной сигнал y(t). Далее, как и в обычном (натурном) эксперименте, полученные результаты обрабатываются с па мощью специальных программ, строящих, напр., гистограммы распределений тех или иных величин, характеризующих поведение исследуемой системы, определяющих различные качественные характеристики (принадлежность системы и определяемого ею преобразования информации к тому или иному классу), и т. п. Таким способом решаются прежде всего задачи анализа кибернетич. систем. Для решения задач синтеза и оптимизации методом машинного эксперимента обслуживающая эксперимент система машинных программ дополняется средствами, обеспечивающими диалог ЭВМ с человеком-исследователем, внесение изменений в описание моделируемой системы по подсказке человека, а также процедуры направленного перебора для организации подобных изменений в автоматич. режиме.