Математическая энциклопедия - коевклидово пространство

пространство, получаемое из евклидова применением принципа двойственности проективного пространства такой же размерности. Обозначается R*n, где п-размерность пространства. К. п. R*n является пространством с проективной метрикой, к-рая задается в соответствии с общей схемой введения проективных метрик. Если проективная метрика евклидова пространства Rn определяется абсолютом, состоящим из совокупности (п-1)-плоскости и (п-2)-мнимой квадрики в этой плоскости, то проективная метрика К. п. Rn определяется двойственным абсолютом: мнимым конусом 2-го порядка, к-рый наз. абсолютным конусом, с вершиной в качестве абсолютной точки абсолюта.

Расстояние между точками в пространстве Rn определяется в соответствии с общей схемой определения расстояния между точками в пространствах с проективной метрикой с учетом двойственного характера этого пространства по отношению к Rn. Пусть

нормальные уравнения нек-рых плоскостей в евклидовом пространстве Rn, двойственном для Rn, где

скалярное произведение векторов в Rn. В пространстве R*n этим плоскостям ставятся в соответствие точки Х( х ⁰, x )и Y(y⁰, у )с координатами

координаты этих точек нормированы условиями

(х ⁰ и у ⁰координаты точек Xи У в бесконечно удаленной плоскости). Расстояние d между точками Xи У определяется соотношением

т. е. выражается через величину угла между плоскостями, двойственными точкам Xи Y. В соответствии с нормировкой векторов точек Xи Y это соотношение можно записать в виде

Действительное число р наз. радиусом кривизны К. п. В случае, когда точкам в двойственном пространстве Rn соответствуют параллельные плоскости, то d=0, а расстояние между точками Xи Y определяются как евклидово расстояние между этими параллельными плоскостями.

Углы между двумя плоскостями определяются в R*n как нормированное евклидово расстояние между соответствующими по принципу двойственности двумя точками в R,,. Этот угол равен также нормированному расстоянию между точками данных плоскостей в R*n, являющихся полюсами (п-2)-плоскости их пересечения относительно квадрик, высекаемых абсолютным конусом на этих плоскостях. При этом всегда определяется тот из углов между плоскостями, к-рый не содержит абсолютной точки. В частности, между двумя прямыми на коевклидовой плоскости он равен нормированному расстоянию между такими двумя точками этих прямых, к-рые вместе с точкой пересечения данных прямых гармонически делят точки пересечения прямых с абсолютными прямыми.

Движения К. п. определяются как преобразования этого пространства, индуцируемые движениями соответствующего двойственного пространства Rm тем самый движения К. п. описываются ортогональными операторами.

Геометрия коевклидовой плоскости обладает свойствами, двойственными свойствам плоскости R2.

Так, из инвариантности длин сторон в треугольнике ABC относительно движений плоскости R2 следует, что угловой избыток инвариантен при движениях плоскости и всегда положителен. (Здесь и далее предполагается, что внутренний угол Втреугольника ABC в содержит абсолютную точку.) За площадь Sтреугольника на плоскости берется величина, пропорциональная угловому избытку, к-рый является аддитивной функцией треугольника: S=r²D. Вследствие двойственного характера величин углов и длин сторон треугольника на плоскости имеют место следующие тригонометрич. соотношения в треугольнике ABC:

b=а+с,

На плоскости метрика расстояний (на прямых) является проективной эллиптической, метрика углов параболической. В пространстве проективная метрика расстояний (на прямых) эллиптическая, в плоскостях также эллиптическая, а в пучках плоскостей параболическая.

К. п. является предельным случаем как эллиптического пространства, так и Лобачевского пространства: проективная метрика К. п. Rn может быть получена предельными переходами из проективных метрик указанных пространств.

Лит.:[1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969.

Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985