Математическая энциклопедия - кратный интеграл

определенный интеграл от функции нескольких переменных. Имеются различные понятия К. и. (интеграл Римана, интеграл Лебега, интеграл Лебега Стилтьеса и др.).

Кратный интеграл Римана вводится на основе Жордана меры Пусть Еизмеримое по Жордану множество n-мерного евклидова пространства есть n-мерная мера Жордана и разбиение множества Е, т. е. такая система измеримых по Жордану множеств Ei, что Величину

где d(Ei) - диаметр множества Е i, наз. мелкостью разбиения Если функция определена на множестве Е, то всякую сумму вида

наз. интегральной суммой Римана функции f. Если для функции f существует независящий от разбиения, то этот предел наз. n-к ратным интегралом Римана и обозначают

Саму функцию fназ. в этом случае интегрируемой по Риману, короче R-интегрируемой.

В случае n=1 в качестве множества Е, по к-рому производится интегрирование, обычно берется отрезок, а в качестве его разбиений t рассматриваются разбиения, состоящие также только из отрезков (см. Римана интеграл). Таким образом, в этом случае как множество, по к-рому производится интегрирование, так и элементы разбиения представляют собой измеримые по Жордану множества весьма специального вида --отрезки. Поэтому не все свойства R-интегрируемых на отрезке функций справедливы для функций Д-интегрируемых на произвольных измеримых по Жордану множествах. Напр., из того, что любая функция, определенная на множестве жордановой меры нуль, Д-интегрируема на нем, следует, что Д-интегрируемые функции могут быть неограниченными, это невозможно для Д-интегрируемых функций на отрезках. Чтобы из Д-интегрируемости функции на нек-ром множестве следовала ограниченность функции, на рассматриваемое множество налагают дополнительные условия, напр, чтобы у него существовали сколь угодно мелкие разбиения, все элементы к-рых имеют положительную меру Жордана. К таким множествам относятся все измеримые по Жордану открытые множества и их замыкания, в частности измеримые по Жордану области и их замыкания. Имеь-но для таких множеств большей частью и используется кратный интеграл Римана.

В случае n=2 (n=3) К. и. наз. двойным (т р о й н ы м). Поскольку кратный интеграл Римана можно брать только по множествам, измеримым по Жордану (в случае n=2 они наз. также квадрируемыми, а при n=3 кубируемыми множествами), то двойной (тройной) интеграл Римана рассматривают только на множествах (обычно областях или их замыканиях), границы к-рых имеют площади (объемы) в смысле Жордана, равные нулю.

Интеграл Римана от ограниченных функций n переменных обладает обычными свойствами интеграла (линейность, аддитивность относительно множеств, по к-рым производится интегрирование, сохранение при интегрировании нестрогих неравенств, интегрируемость произведения интегрируемых функций и т. п.).

Кратный интеграл Римана может быть сведен к повторному интегралу. Пусть

Еизмеримое в Rⁿ по Жордану множество, = сечение множества Е(n-m)-мерной гиперплоскостью проекция Ена гиперплоскость причем измеримы соответственно в смысле (n-m)-мерной и m-мер-ной меры Жордана. Тогда, если функция f Д-интегрируема на множестве Еи для всех существуют (n-m)-кратные интегралы от ее сужения на множестве то существует повторный интеграл

где внешний интеграл является m-кратным интегралом Римана, и

Для случая n=3 отсюда следуют формулы: 1) Если проекция Eна плоскость а функции таковы, что множество Еограничено в направлении оси z их графиками, т. е.

2) Пусть проекцией множества Ена ось Ох является отрезок сечение множества Еплоскостью, параллельной плоскости и проходящей через точку х, тогда