Математическая энциклопедия - краевая задача

численные методы решения для уравнений с частными производными приближенные методы решения, в результате к-рых решение задачи представляется таблицей чисел. Точно решения (в виде явных формул, рядов и т. п.) К. з. можно построить лишь в редких случаях. Из приближенных методов решения наибольшее распространение получили разностные методы (см. [1]); они применимы к самым общим задачам и удобны для реализации на ЭВМ. Сущность разностных методов состоит в том, что исходная область изменения независимых переменных заменяется дискретным множеством точек сеткой, а производные, входящие в уравнение и в граничные условия, аппроксимируются на этой сетке разностными отношениями. В результате такой процедуры исходной задаче сопоставляется система конечного числа алгебраич. уравнений (линейных или нелинейных), называемая разностной схемой. За приближенное решение исходной задачи принимается решение разностной схемы. Точность приближения зависит от способа аппроксимации и от густоты сетки, т. е. от того, насколько плотно сетка заполняет исходную область. В дальнейшем рассматриваются только линейные К. з. для уравнений с частными производными, причем исходная задача считается корректно поставленной. Обоснование разностных методов связано с исследованием корректности разностной задачи и ее сходимости при измельчении сетки. Разностная задача наз. к о р р е к т н о й, если при любых правых частях ее решение существует, единственно и устойчиво. Под устойчивостью разностной схемы понимается непрерывная зависимость ее решения от правой части, равномерная относительно шагов сетки.

Пусть, напр., требуется решить задачу Дирихле для уравнения Пуассона в квадрате с границей Г:

Область Gзаменяется квадратной сеткой с шагом h, т. е. множеством точек

а производные, входящие в уравнение, разностными отношениями

где ее решение.

Решение задачи (1) существует и единственно при любых правых частях f и при любых, граничных условиях (см. [2]). Более того, решение разностной задачи (1) сходится при к решению исходной задачи, причем схема имеет второй порядок точности в норме с, то есть

где М - постоянная, не зависящая от h.

Разностная схема (1) представляет собой систему линейных алгебраич. уравнений, для к-рой характерно большое число уравнений (именно уравнений, причем ), большое число нулей в матрице этой системы и плохая обусловленность (отношение наименьшего собственного числа к наибольшему есть величина порядка ). Для решения подобных систем уравнений, возникающих при аппроксимации дифференциальных уравнений разностными, существуют аффективные прямые и итерационные методы. Прямые методы дают точное решение разностной задачи после выполнения конечного числа арифметич. действий. К прямым методам относятся различные варианты метода прогонки, включая матричную прогонку, метод декомпозиции, быстрое преобразование Фурье, метод суммарных представлений (см. [1], |2], [3], [6]). Эффективность прямых методов оценивается порядком числа действий при Так, матричная прогонка требует для решения задачи (1) числа действий в то время как метод быстрого преобразования Фурье требует для решения той же задачи действий. Из итерационных методов решения разностных задач используется метод Ричардсона с чебышевским набором параметров, попеременно-треугольный итерационный метод, различные методы переменных направлений (см. [2]). Эффективность итерационных методов оценивается порядком минимального числа итераций необходимых для того, чтобы уменьшить погрешность начального приближения в раз. Напр., при решении задачи (1) методом Ричардсона величина имеет порядок а при решении методом переменных направлений с оптимальным выбором итерационных параметров Итерационные методы более универсальны и более просты в реализации, чем прямые, и вследствие этого получили большое распространение при решении разностных задач.

Пусть, напр., требуется решить первую К. з. для уравнения теплопроводности:

Для решения этой задачи задается сетка по времени с шагом t>0, и сетка Gh по пространственным переменным. Пусть Производная аппроксимируется отношением

а лапласиан разностным оператором Исходному уравнению (2) ставится в соответствие разностная схема