Математическая энциклопедия - кронекера метод

метод разложения многочлена с рациональными коэффициентами на неприводимые множители над полем рациональных чисел; предложен в 1882 Л. Кронекером [1], Пусть d - общий знаменатель всех коэффициентов многочлена Тогда многочлен с целыми коэффициентами; причем из любого разложения на неприводимые множители с рациональными коэффициентами можно получить разложение f(x).на неприводимые множители с целыми коэффициентами, множители к-рого отличаются от соответствующих множителей лишь постоянными множителями, и обратно.

Пусть f(x).имеет степень n>0 и k наибольшее натуральное число, для к-рого Если X X разложение f(x).на множители с целыми коэффициентами, где степень g(x). не больше степени h(x), то степень g(x).не превосходит k. Давая хлюбые k+1 различных целых значений получают равенства

где g(ci).и h(ci) целые числа. Таким образом, g(ci).делит f(ci). Беря произвольные делители di чисел f(ci), получают

Из этих равенств многочлен g(x).находится по интерполяционной формуле Лагранжа или проще из уравнений для коэффициентов. Найденный многочлен g(x).надо испытать, проверив, делит ли он f(x). Это построение многочлена и проверка проводятся для всевозможных наборов делителей чисел f(ci).

Далее этот же процесс применяется к g(x).и h(x).и т. д., пока не приходят к неразложимым множителям. К. м. приводит к громоздким вычислениям. Для упрощения можно сначала понизить степень f(x), выделив его рациональные корни (см. [3] с. 355).

Пример. (это многочлен с целыми коэффициентами и без рациональных корней). Если где степень kмногочлена g(x).не больше степени h(х), то т. е. k=2. Пусть Тогда f(0)=1; f(1)= -5; f(2)=-21. Делители этих чисел: Всего получается комбинации. Две комбинации di, отличающиеся лишь знаком, дают два многочлена Поэтому можно проверять лишь . Остаются 32 случая. Перебирая все эти случаи, можно найти лишь один многочлен 2-й степени, делящий f(x). Это Откуда Оба сомножителя этого разложения неприводимы (как многочлены 2-й и 3-й степеней, не имеющие рациональных корней).

Лит.:[1] Kronecker L., "J. reine und angew. Math.", 1882, Bd 92, S. 1 122; [2] О к у н е в Л. Я., Высшая алгебра, М., 1937; [3] К у р о ш А. Г., Курс высшей алгебры, 11 изд., М., 1975. И. В. Проскуряков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985