Математическая энциклопедия - куммера расширение

расширение поля kхарактеристики вида

где п - некоторое натуральное число, причем предполагается, что поле kсодержит первообразный корень из 1 степени п(в частности, пвзаимно просто с рпри ). К. р. названы по имени Э. Куммера (Е. Kummer), впервые подробно рассмотревшего расширения вида где поле рациональных чисел и

Основной результат теории К. р. состоит в том, что для поля k, содержащего первообразный корень конечное расширение K/k является куммеровым (для данного n) тогда и только тогда, когда K/k - нормальное абелево расширение и группа Галуа имеет период п. Любое К. р. поля kполностью характеризуется своей группой Куммера где мультипликативная группа поля k,a

Существует невырожденное спаривание Куммера, т. е. отображение

где m(n) подгруппа группы k*, порожденная

Для это спаривание задается формулой некоторый представитель элемента а. Это спаривание определяет канонический изоморфизм

Другими словами, всякий автоморфизм определяется своим действием на корни в (1), и это действие может быть произвольным, если только корни независимы. В частности, если G(K/k).циклич. группа, то

Пусть k - нормальное расширение поля k0 и Поле Ктогда и только тогда нормально над k0, когда A(K/k).переходит в себя под действием G(K/k0)В этом случае изоморфизм (2) является G (K/k0 )-операторным, т. е. если и то (Группа G(k/k0).действует на G(K/k).с помощью сопряжения в G(K/k0).).Это обстоятельство позволяет сводить многие вопросы об абелевых расширениях периода пполя kк теории К. р. даже в том случае, когда А именно, если K/k - такое расширение, то расширение является куммеровым, причем его группа Куммера характеризуется условием: для и будет где i натуральное число, определенное по модулю пусловием

Основные результаты о К. р. могут быть получены как следствие Гильберта теоремы о циклич. расширениях, утверждающей тривиальность одномерной группы Галуа когомологий

Теория К. р. переносится на случай бесконечных абелевых расширений периода п. При этом спаривание Куммера устанавливает двойственность Понтрягина между проконечной группой G(K/k).(наделенной топологией Крулля) и дискретной группой A(K/k)(:м. [1] гл. 8, § 8; [2] гл. 3, § 2).

Теория К. р., называемая также теорией Куммера, имеет аналог для случая расширений вида (1), но с п=р (так наз. теорияАртина Шрейера). Роль группы m(n) в этом случае играет аддитивная группа простого подполя F р поля k. Основное утверждение этой теории: любое абелево расширение Кпериода рполя kимеет вид корни уравнений вида xP-x=a. (см. [1] гл. 8, § 8). Существует также принадлежащее Э. Витту (Е. Witt) обобщение этой теории для случая n=p^s, где s>l, использующее Витта векторы.

Имеется, наконец, попытка построения неабелевой "теории Куммера" [3], где роль мультипликативной группы поля играет группа матриц GL(n, К).

Лит.:[1] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1068; [2] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М., 1969; [3] Таkahashi S., "J. Math. Soc. Japan", 1968, v. 20, № 1-2, p. 365 70. Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985