Математическая энциклопедия - кузена проблемы

проблемы, названные по имени П. Кузена [1], к-рый впервые решил их для простейших областей в пространстве пкомплексных переменных С".

Первая (аддитивная) проблема Кузена (I К. п.). Дано покрытие комплексного многообразия Моткрытыми подмножествами Ua и в каждом Ua задана мероморфная функция fa, причем функции голоморфны в ~ для всех индексов (условие согласования). Требуется построить функцию f, мероморфную на всем многообразии Ми такую, что функции голоморфны в Ua для всех a. Другими словами, надо построить глобальную мероморфную функцию с локально заданными полярными особенностями.

Функции определенные в попарных пересечениях элементов покрытия определяют голоморфный коцикл 1-го порядка для т. е. удовлетворяют условию

для всех Более общая проблема (так наз. I К. п. в когомологической формулировке) заключается в следующем. На попарных пересечениях покрытия заданы голоморфные функции удовлетворяющие условию коцикличности (1). Требуется найти функции голоморфные в и такие, что

для всех Если соответствуют данным I К. п. и указанные существуют, то функция

определена и мероморфна на всем многообразии Ми является решением данной I К. п. Обратно, если f решение I К. п. с данными то голоморфные функции удовлетворяют (2). Таким образом, конкретная I К. п. разрешима тогда и только тогда, когда соответствующий ей коцикл является голоморфной кограницей (т. е. выполняется условие (2)).

I К. п. можно формулировать в локализованном варианте. Каждому набору данных с условием согласования соответствует однозначно определенное глобальное сечение пучка пучки ростков мероморфных и голоморфных функций соответственно, причем любое глобальное сечение соответствует какой-нибудь I К. п. (значение сечения соответствующего данным в точке есть элемент с представителем ). Отображение глобальных сечений переводит каждую мероморфную на Мфункцию f в сечение пучка где класс в ростка f в точке Локализованная I К. п. заключается в том, чтобы для данного глобального сечения пучка найти мероморфную на Мфункцию f (т. е. сечение ) такую, что

Теоремы о разрешимости I К. п. можно рассматривать как многомерное обобщение Миттаг-Леффлера теоремы, о построении мероморфной функции с данными полярными особенностями. I К. п. в когомологич. формулировке с фиксированным покрытием разрешима (для произвольных согласованных ) тогда и только тогда, когда (когомологии Чеха для покрытия с голоморфными коэффициентами тривиальны).

Конкретная I К. п. на Мразрешима тогда и только тогда, когда соответствующее ей сечение принадлежит образу отображения Произвольная I К. п. на Мразрешима тогда и только тогда, когда отображение на (сюръективно). На любом комплексном многообразии Мимеет место точная последовательность

Если когомологии Чеха для М с коэффициентами в тривиальны (т. е. ), тоj отображение на и для любого покрытия многообразия М. Таким образом, если то на Мразрешима любая I К. п. (в классической, когомологической и локализованной формулировках). В частности, I К. п. разрешима во всех областях голоморфности и на Штейна многообразиях. Если область то I К. п. в Dразрешима тогда и только тогда, когда D - область голоморфности. Пример неразрешимой I К. п.:

Вторая (мультипликативная) проблема К у з е н а (II К. п.). Дано открытое покрытие комплексного многообразия М и в каждом задана мероморфная функция на каждой компоненте причем функции голоморфны и нигде не равны нулю в для всех (условие согласования). Требуется построить мероморфную на Мфункцию f такую, что функции голоморфны и нигде не равны нулю в для всех a.

Когомологическая формулировка II К. п. Дано покрытие и в попарных пересечениях заданы голоморфные нигде не равные нулю функции образующие мультипликативный коцикл первого порядка, т. е.

Требуется найти функции голоморфные и нигде не равные нулю в такие, что для всех a, b. Если коцикл соответствует данным II К. п. и указанные существуют, то функция определена и мероморфна всюду на Ми является решением данной II К. п. Обратно, если данная II К. п. разрешима, то соответствующий ей коцикл является голоморфной кограницей.

Локализованная II К. п. Каждому набору данных II К. п. соответствует однозначно определенное глобальное сечение пучка (аналогично I К. п.), где (0 нулевое сечение) мультипликативный пучок ростков мероморфных функций и подпучок у к-рого каждый слой состоит из ростков голоморфных функций, отличных от нуля в точке z. Отображение глобальных сечений