Математическая энциклопедия - лёвнера уравнение

дифференциальное уравнение вида

где действительная непрерывная на интервале функция. Обобщением Л. у. является уравнение Куфарева Лёвнера (у. К. Л.):

где измеримая по tпри фиксированном wи регулярная по wфункция с положительной действительной частью, нормированная условием Р(0, t)=1. Л. у. и у. К.Л., возникшие в теории однолистных функций, лежат в основе параметрич. метода исследования экстремальных проблем конформного отображения.

Решение у. К.Л., рассматриваемое как функция начального значения z, при всяком конформно отображает круг на однолистную односвязную область, принадлежащую кругу По формуле

при надлежащем выборе Р(w, t).в у. К.Л. и комплексных постоянных а, b можно получить произвольную регулярную однолистную функцию в круге Л. у. порождает на этом пути, в частности, конформные отображения круга на области, получаемые из всей плоскости проведением разреза вдоль нек-рой дуги Жордана (см. [1] [4]).

Дифференциальное уравнение с частными производными

к-рому удовлетворяет функция

также называют у. К.Л.

Л. у. было установлено К. Левнером [1]; у. К.Л. впервые было получено П. П. Куфаревым (см. [5]).

Лит.:[1] L o w n e r К., "Math. Ann.", 1923, Bd 89, № 2, S. 103-21; [2] К у ф а р е в П. П., "Ученые зап. Томск, ун-та", 1947, т. 5, с. 20-21; [3] Р о m m е r е n k е С., "J. reine und angew. Math.", 1965, Bd 218, S. 159-73; [4] Г у т л я н с к и й В. Я., "Докл. АН СССР", 1970, т. 194, № 4, с. 750 53; [5] Куфарев П. П., "Матем. сб.", 1943, т. 13, № 1, с. 87 118; [6] Голузин Г. М., Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2изд., М., 1968. В. Я. Гутлянский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985