Математическая энциклопедия - леви-чивита связность

аффинная связность на римановом пространстве М, к-рая является римановой связностью (т. е. связностью, относительно к-рой метрич. тензор ковариантно постоянный) и имеет нулевое кручение. Аффинная связность на Мопределяется этими условиями однозначно, так что каждое риманово пространство Мобладает единственной Л.-Ч. с. Впервые это понятие возникло в 1917 у Т. Леви-Чивита [1] в виде понятия параллельного перенесения вектора в римановой геометрии: Сама идея восходит еще к Ф. Миндингу (F. Minding), к-рый в 1837 ввел понятие развертки линии на поверхности.

Относительно локальной координатной системы в М, где Л.-Ч. с. на Мопределяется формами

где

ее тензор кривизны определяется формулой

Пусть

тогда

при этом:

Тензор кривизны Л.-Ч. с. имеет n²(n² -1)/12 существенных компонент, где re=dim М. Напр., при n=2 имеется только одна существенная компонента где К - гауссова кривизна.

Если риманово пространство Мизометрически погружено в евклидово пространство EN, то его Л.-Ч. с. характеризуется следующим образом: для произвольных двух векторных полей X, У на . ковариантная производная в точке является ортогональной проекцией на касательную плоскость обычного дифференциала (dYX)x поля Xв EN относительно вектора Другими словами, отображение соседней бесконечно близкой касательной плоскости на исходную совершается путем ортогонального проектирования.

Лит.:[1] Levi-Civita Т., "Rend. Circolo math. Palermo", 1917, v. 42, p. 173 205; [2] Громол Д., К л и н г е н б е р г В., М е й е р В., Риманова геометрия в цепом, пер. с нем., М., 1971; [3] Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967. Ю. Г. Лумистс.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985