Математическая энциклопедия - кручение

1) К. к р и в о й величина, характеризующая отклонение пространственной кривой от соприкасающейся плоскости. Пусть Р - произвольная точка кривой и Q - точка кривой близкая Р, - угол между соприкасающимися плоскостями кривой в точках Ри Q, а длина отрезка PQ кривой Абсолютным кручением кривой в точке Рназ. величина

К. кривой определяется равенством и считается положительным (отрицательным), если вращение соприкасающейся плоскости при движении вдоль кривой в сторону возрастания s от вектора бинормали к вектору главной нормали происходит против часовой стрелки (по часовой стрелке) при наблюдении из точки Р.

Регулярная (трижды непрерывно дифференцируемая) кривая в каждой точке, где ее кривизна отлична от нуля, имеет К. Если r=r(s) - естественная параметризация кривой, то

К. иногда наз. второй кривизной. Кривизна и К., заданные как функции длины дуги, определяют кривую с точностью до положения в пространстве. Кривая, у к-рой К. в каждой точке равно нулю,плоская. Е. В. Шикин.

2) К. геодезическое обобщение К. кривой, инвариант полосы в пространстве Е ³, определяемый формулой

где касательный вектор к базовой кривой Г полосы, нормальный вектор полосы. Обычное К. кривой Г ненулевой кривизны выражается через а и нормальную и геодезич. кривизны bи спо формуле

Равенство нулю геодезич. К. характеризует полосы кривизны, в частности для полос, принадлежащих поверхности в кривизны линии.

Аналогичные понятия вводятся для полос в римано-вом пространстве (см. [1], [2]).

3) К. подмногообразия обобщение К. кривой, кривизна связности, индуцированной в нормальном расслоении многообразия погруженного в риманово пространство Пусть формы связности в формы эйлеровых кривизн Тогда формы

определяют риманово кручение, а формы

гауссово кручение Риманово К. и гауссово К. связаны соотношением

где компоненты тензора кривизны Vⁿ в направлении бивектора, касательного к ортогональный кобазис касательного пространства к Тензоры получающиеся в разложении форм К.

по формам нэз. тензорами гауссова и риманова кручения (см. [11,'[4]).

П р и м е р. Пусть М ² - поверхность в евклидовом пространстве Е ⁴. Тогда гауссово и риманово К. равны и сводятся к единственному числу

где Е, F, G - коэффициенты первой, а второй квадратичных форм М ² в Е ⁴. Равенство в нек-рой окрестности геометрически интерпретируется как вырождение эллипса кривизны в отрезок, тогда существует два семейства ортогональных линий кривизны, касательные к к-рым соответствуют концам этого отрезка. Условие локально необходимо и достаточно для того, чтобы М ² располагалась в римановом пространстве V³, погруженном в Е ⁴, и нормаль к М ² в касательном пространстве к V³ была направлена по главному вектору Риччи тензора V³. В частности, нулевое К. необходимо для уплощения М ² в E³.

4) К. аффинной связности Г величина, выражающая отклонение от перестановочности ковариантных производных какой-либо функции на многообразии М" с этой связностью Г. Она определяется преобразованием

где X, Y - векторные поля на ковариант-ная производная Yвдоль X,[X, Y]коммутатор Xи У. В локальных координатах таких,

что преобразование Sимеет вид

тензор компоненты связности Г в выбранном базисе, наз. тензором кручения.

Эквивалентным образом К. определяется ковариантным дифференциалом векторнозначной 1-формы смещения данной связности

к-рый наз. формой кручения; здесь связности формы для Г. В локальном кобазисе (дуальном базису ) форма

где имеет те же значения, что и выше.

Геометрич. смысл К. аффинной связности Г заключается в том, что развертка каждого бесконечномалого контура L, выходящего из точки и возвращающегося в нее на касательное пространство к М ⁿ в х, уже не будет замкнутой кривой.