Математическая энциклопедия - круговой метод

один из наиболее общих методов аддитивной теории чисел. Пусть произвольные множества натуральных чисел, N - натуральное число и число решений уравнения

где Изучением величин занимается аддитивная теория чисел; напр., если доказать, что , больше нуля при всех N, то это будет означать, что любое натуральное число является суммой kслагаемых чисел множеств Пусть, далее, s комплексное число, и

является производящей функцией величин По формуле Коши

Последний интеграл изучается при Окружность интегрирования разбивается на "большие" и "малые" дуги, центрами к-рых являются рациональные числа. Для целого ряда аддитивных задач удается достаточно полно исследовать интегралы по "большим" дугам, к-рые дают "главную" часть величины и оценить интегралы по "малым" дугам, к-рые дают "остаточный" член асимптотич. формулы для

Введение И. М. Виноградовым в К. м. тригопомет-рич. сумм не только сильно упростило его применения, но и дало возможность единым способом решать широкий круг самых разных аддитивных задач. Основой К. м. в форме тригонометрич. сумм является следующая формула:

Из этой формулы следует, что

Конечные суммы наз. тригонометрическими. Для исследования отрезок интегрирования [0, 1] разбивается на "большие" и "малые" дуги отрезки с центрами в рациональных точках с "малыми" и "большими" знаменателями. Для многих аддитивных задач удается с хорошей точностью вычислить интегралы по "большим" дугам (тригонометрич. суммы для а из "больших" дуг близки к рациональным тригонометрич. суммам с малым знаменателем, хорошо вычисляются и являются "большими"); на "малых" же дугах, к-рые содержат основную долю точек отрезка [0, 1], тригонометрич. суммы "малы"; их удается нетривиально оценить (см. Тригонометрических сумм метод, Виноградова метод), что позволяет получить асимптотич. формулу для

С помощью К. м. в форме тригонометрич. сумм и метода И. М. Виноградова оценок тригонометрич. сумм получены наиболее сильные результаты в аддитивной теории чисел (см. Варинга проблема, Гольдбаха проблема. Гольдбаха-Варинга проблема, Гильберта Камке проблема).

Лит.:[1] Виноградов И. М., Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [2] X у а Л о г е н, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [3] К а р а ц у б а А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975. А. А. Карацуба.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985