Математическая энциклопедия - круговое поле

поле деления круг а,поле получающееся присоединением к полю рациональных чисел первообразного корня из единицы степени га, где п - некоторое натуральное число. Иногда (локальным) круговым полем наз. также поле вида где поле рациональных р-адических чисел. Так как при нечетном n, обычно предполагается, что Тогда различным n соответствуют неизоморфные поля К п.

К. п. естественно возникают в задаче о делении круга деление окружности на n равных частей эквивалентно построению на комплексной плоскости первообразного корня К. п, устроены "достаточно просто", и поэтому дают удобный экспериментальный материал для создания общих понятий теории чисел. Напр., понятие целого алгебраич. числа и дивизора возникли первоначально при рассмотрении К. п.

Место К. п. среди всех полей алгебраич. чисел выясняет теорема Кронекера Вебера, утверждающая, что конечное расширение абелево тогда и только тогда, когда для нек-рого п. Аналогичное утверждение выполняется и для локальных К. п.

Алгебраическая теория. Поле К п является абелевым расширением поля с группой Галуа где мультипликативная группа кольца вычетов по модулю га. В частности, степень равна функция Эйлера. Поле К п чисто мнимое и имеет степень 2 над своим максимальным вполне вещественным подполем Если разложение пна простые множители,

то К п является свободным композитом полей . В поле простой дивизор римеет индекс ветвления В . имеет место равенство главных дивизоров

Все остальные простые дивизоры поля неразветвлены в . откуда следует, что рразветвлен в поле . тогда и только тогда, когда

Числа образуют фундаментальный базис поля К n. Дискриминант поля равен Для линейно разделенных над полей Еи Fсо взаимно простыми дискриминантами выполняется соотношение Это позволяет вычислить для произвольного га (см. [3]). Для поля числа вида

где порождают подгруппу конечного индекса в группе всех единиц. Элементы этой подгруппы наз. круговыми единицами.

Закон разложения для К. п., т. е. закон, по к-рому простые дивизоры (р).поля разлагаются в произведение простых дивизоров в частный случай общего закона разложения в абелевых расширениях, доставляемого теорией полей классов (см. [4]). А именно, если ( р, n)=1 и f - наименьшее натуральное число, для к-рого то в К n где простые дивизоры попарно различны, . Таким образом, тип разложения (р).зависит только от вычета р(mod n). В случае, когда точный вид разложения (р).можно получить, учитывая, что где (т, р)=1 и (р) вполне разветвлен в

Если К - максимальное абелево расширение то и

где пополнение кольца целых чисел по всем идеалам конечного индекса. В частности, для любого простого lсуществует единственное расширение с группой Галуа, изоморфной группе целых l-адических чисел

Согласно теории полей классов существует отображение взаимности

где группа иделей поля В случае К. п. отображение допускает простое и явное описание (см. [4]). Аналитическая теория. Многие результаты о строении группы классов дивизоров поля К п удается получить с помощью аналитпч. методов. Если h п число классов поля К п, то