Математическая энциклопедия - крулля - ремака - шмидта теорема

группа утверждений, касающихся связи между прямыми разложениями группы или кольца. Теоретико-структурная форма этого результата известна как теорема Оре (см. Дедекиндова решетка). Для группы Gс произвольной системой операторов имеет место теорема Шмидта (Р. Ремак получил этот результат для конечных групп [2], а В. Крулль для колец [1]): если такая группа обладает главным рядом, то любые два ее разложения в прямое произведение с неразложимыми сомножителями центрально изоморфны, т. е. между множествами сомножителей каждого из этих разложений может быть установлено взаимно однозначное соответствие и, если соответствующие друг другу сомножители, то существует такой изоморфизм j: для всякого лежит в центре группы G ([3], см. также [4]). А. Г. Курош установил, что можно ограничиться требованием существования главного ряда лишь у факторгрупп группы G, вложимых в ее центр. Теорема Шмидта, как теорема для групп с операторами, в частности, справедлива для модуля над любым кольцом. Однако модуль Мнеразложим, если его кольцо эндоморфизмов локально (см. Локальное кольцо), а при нек-рых ограничениях (напр., если М - модуль конечной длины) справедливо и обратное. В связи с этим К.Р.Ш. т. для модулей может быть сформулирована так: два разложения

где кольца эндоморфизмов модулей локальны, изоморфны. При этом каждое слагаемое одного из разложений может быть заменено нек-рым слагаемым другого. В нек-рых случаях такую замену можно осуществить и для бесконечного множества слагаемых. К исследованию вопросов, связанных с К.Р.Ш. т., разработан теоретико-категорный подход, использующий рассмотрение категории подмодулей прямых сумм данных модулей.

Лит.:[1] К r u l l W., "Math. Ann.", 1924, Bd 91, S. 1-46; (2] Remak R., "J. reine und angew. Math.", 1911, Bd 139, 8. 293 308; [3] Шмидт О. К)., "Math. Z.", 1928, Bd 29, S. 34-41; [4] К у p о ш А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; 15] Л а м в е к И., Кольца и модули, пер. с англ., М., 1971; to] Ф е и с К., Алгебра: кольца, модули и категории, пер. е англ., т. 1-2, М., 1977-79; [7] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 14, М., 1976, с. 57-190.

Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985