Математическая энциклопедия - круговое расширение

поля k - расширение K, получаемое присоединением к k первообразного корня из единицы нек-рой степени п. Иногда термин "К. р." относят и к любому промежуточному подполю расширения Кнад k. К. р. наз. также бесконечное алгебраич. расширение, являющееся объединением конечных К. р. Важный пример К. р. круговые поля, отвечающие случаю, когда поле рациональных чисел.

Пусть поле kимеет характеристику 0 и его К. р., полученное присоединением первообразного корня Тогда поле является композитом kи кругового поля Поэтому многие свойства круговых полей переносятся и на К. р. Напр., будет нормальным абелевым расширением поля k(причем ото справедливо и для полей положительной характеристики), группа Галуа расширения является подгруппой группы Галуа расширения в частности, ее порядок делит где функция Эйлера.

Если k - поле алгебраич. чисел, то в расширении могут ветвиться только простые девизоры, делящие п, хотя при дивизор поля k, делящий п, может остаться неразветвленным в К. р. поля алгебраич. чисел с группой Галуа Г, изоморфной аддитивной группе целых l-адических чисел Zl, наз. круговыми Г-расширениями (см. [2], [3], [4]). Такое Г-расширение в случае, когда имеет вид где

Лит.:[1] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Шафаревич И. Р., Дзета-функция, М., 1969; [3] Кузьмин Л. В., "Изв. АН СССР. Сер. матем.", 1972, т. 36, №2, с. 267-327; [4] I w a s a w а К., "Ann. Math.", 1973, v. 98, №2, p. 246 326. Л. В. Кузьмин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985