Математическая энциклопедия - крупных частиц метод

метод для расчета сжимаемых течении сплошной среды [1]. К. ч. м. основывается на расщеплении исходной системы дифференциальных уравнений по физическим процессам (см. [3]). Им решается эволюционная система уравнений. Допускается стационарное решение в результате установления. К. ч. м. является развитием метода "частиц в ячейках" Харлоу. К. ч. м. широко используется для исследования аэрогазодинамич. течений, дифракционных задач, трансзвуковых потоков, явлений взаимодействия излучения с веществом и др.

Разностная схема К. ч. м. может быть описана на примере движения идеального сжимаемого газа (уравнения неразрывности, импульса и энергии):

Здесь время, плотность, = скорость, Е - полная удельная энергия, Р - давление. Для замыкания системы (1) используется уравнение состояния

где

внутренняя удельная энергия.

Процесс решения эволюционной системы (1) разбивается на шаги по времени, каждый из к-рых состоит из трех этапов: эйлерова, лагранжева и заключительного. Вначале рассматривается изменение внутреннего состояния подсистемы "крупной частицы" (эйлеров этап), а затем перемещение этой подсистемы без изменения внутреннего состояния (лагранжев и заключительный этапы).

Эйлеров этап. Область интегрирования покрывается неподвижной (эйлеровой) разностной сеткой произвольной формы [для краткости изложения рассматривается прямоугольная сетка в двумерной (плоской) области (см. рис.)]. На этом этапе расчета изменяются лишь величины, относящиеся к ячейке в целом, а жидкость предполагается моментально заторможенной.

Поэтому конвективные члены вида соответствующие эффектам перемещения, из уравнений (1) опускаются. В оставшихся уравнениях (1) выносится из-под знака дифференциала, и уравнения (1) разрешаются относительно временных производных от u, v, Е:

Простейшая конечноразностная аппроксимация (центральные разности) приводит к следующим выражениям:

Здесь величины с дробными индексами относятся к границам ячеек, напр.

промежуточные значения параметров потока, полученные в предположении "замороженности" поля р на слое Хотя схема эйлерова этапа в данном виде неустойчива, при определенных формах записи последующих этапов вся схема в целом устойчива. Устойчивости эйлерова этапа можно достигнуть, напр., путем введения в него элементов интегральных соотношений метода. При этом аппроксимация подинтегральных функций производится в направлении, параллельном оси тела (см. рис.), т. е. как в схеме i метода интегральных соотношений: исходная система уравнений берется в интегральном виде, в ней аппроксимируются интегралы

Лагранжев этап. На данном этапе находятся при потоки массы через границы ячеек. При этом полагают, что масса крупной частицы переносится только за счет нормальной к границе составляющей скорости. Так, напр.,

и т. д. Знак < > определяет параметры и ина границе ячейки. Выбор этих величин имеет важное значение, так как сильно влияет на устойчивость и точность счета. Возможны различные разностные представления для разного порядка точности, с учетом и без учета направления потока, центральные разности, ZIР-аппроксимации и т. д. Потоки импульса (энергии) равны произведению на соответствующие значения скорости (полной удельной энергии). Проводились также аппроксимации не только потоков массы, но и потоков импульса и энергии.

Заключительный этап. На этом этапе находятся окончательные поля эйлеровых параметров потока в момент Уравнения этого этапа представляют собой законы сохранения массы М, импульса и полной энергии E, записанные для данной ячейки (крупной частицы) в разностной форме

М ^п+1=

Окончательные значения параметров потока на следующем временном слое вычисляются по формулам (поток течет слева направо и снизу вверх):

Консервативность и полную дивергентность разностной схемы (схема дивергентно-консервативная) обеспечивает уравнение для полной энергии Е. На заключительном этапе (в случае использования дискретной модели среды) целесообразно производить дополнительный пересчет плотности, что сглаживает флуктуации и повышает точность вычислений. Комбинируя различные представления этапов, получают серию разностных схем К. ч. м., что позволяет осуществить широкий класс численных экспериментов.

К. ч. м. допускает трактовку с различных точек зрения: метод расщепления, смешанный эйлерово-лагранжевый метод, расчет в локально лагранжевых координатах (эйлеров этап) с пересчетом на прежнюю сетку (лагранжев и заключительный этапы), разностная запись законов сохранения для элемента жидкости "крупной частицы", эйлерова разностная схема.

Граничные условия ставятся с помощью рядов фиктивных ячеек (чтобы каждую расчетную точку сделать внутренней и сохранить единый алгоритм для всех ячеек). Для схемы 1-го порядка аппроксимации достаточно одного слоя, для 2-го порядка два слоя и т. д. Пусть, напр., рассматривается задача о расчете обтекания осесимметричных и плоских тел с образующей произвольной формы (см. рис.). Приведенные ранее расчетные формулы справедливы для внутренних ячеек поля, со всех сторон окруженных жидкостью, и для ячеек, прилегающих к твердому телу, контур к-рого совпадает с границами ячеек.

Прп расчете обтекания тел конечноразностными методами можно использовать два подхода: расчет в координатах s, и; введение в рассмотрение дробных ячеек (см. [2]). В первом случае затруднительно рассчитывать тела с изломами и с вогнутостями. Второй подход свободен от этих недостатков.