Математическая энциклопедия - круг сходимости

степенного ряда

круг вида в к-ром ряд (1) абсолютно сходится, а вне его, при расходится. Иными словами, К. с. есть внутренность множества точек сходимости ряда (1). Радиус RК. с. наз. радиусом сходимости ряда (1). К. с. может вырождаться в точку а, когда R = 0, н может совпадать со всей открытой плоскостью переменного z, когда Радиус сходимости Rравен расстоянию от центра ряда адо множества особых точек функции f (z) (об определении Л по коэффициентам ряда ck см. Коши Адамара теорема). Любой круг на плоскости z является К. с. нек-рого степенного ряда.

В случае степенного ряда

по нескольким комплексным переменным n>1, поликругом сходимости ряда (2) наз. всякий поликруг

такой, что во всех его точках ряд (2) абсолютно сходится, а в любом поликруге вида

где и по крайней мере одно из последних неравенств строгое, найдется хотя бы одна точка, в к-рой ряд (2) расходится. Радиусы поликруга сходимости наз. сопряженными р а д и у с a м и сходимости ряда (2). Они связаны определенным соотношением с коэффициентами ряда (2), так что любой поликруг с центром а, радиусы к-рого удовлетворяют этому соотношению, является поликругом сходимости ряда (2) (см. Коши Адамара теорема). Любой поликруг вида ... , n, в комплексном пространстве есть поликруг сходимости нек-рого степенного ряда по пкомплексным переменным. Вся внутренность множества точек абсолютной сходимости ряда (2) при n>1 имеет более сложный вид это логарифмически выпуклая полная кратно круговая область пространства с центром а.

Лит.:[1] М а р к v ш е в и ч А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 1, М., 1967; [2] III а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1, М., 1976. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985