Математическая энциклопедия - леви каноническое представление

формула для логарифма характеристич. функции безгранично делимого распределения:

где характеристики Л. к. п. М, N удовлетворяют следующим условиям: и N(х) - неубывающие непрерывные слева функции на соответственно и такие, что

Каждому безгранично делимому распределению соответствует единственный набор характеристик Л. к. п. и обратно, при приведенных выше условиях на Ми Nпо любому такому набору Л. к. п. определяет логарифм характеристич. функции нек-рого безгранично делимого распределения.

Так, для нормального распределения со средним аи дисперсией

Для распределения Пуассона с параметром l

Устойчивому распределению с показателем a, 0<a<2, соответствует Л. к. п. с

и нек-рым

где постоянные (с 1+с 2>0). Л. к. п. безгранично делимого распределения было предложено П. Леви (P. Levy, 1934). Оно является обобщением формулы А. Н. Колмогорова, найденной им в 1932 для случая, когда безгранично делимое распределение имеет конечную дисперсию. Для имеется эквивалентная Л. к. п. формула, предложенная в 1937 А. Я. Хинчиным и называемая Леви-Хинчина каноническим представлением. Вероятностный смысл функций N и Ми область использования Л. к. п. определяются следующим: каждой безгранично делимой функции распределения F(х).соответствует стохастически непрерывный однородный процесс с независимыми приращениями

такой, что

В свою очередь сепарабельный процесс Xупомянутого типа имеет с вероятностью 1 выборочные траектории без разрывов второго рода, и поэтому для b>a>0 определена случайная величина равная числу элементов в множестве

В этих обозначениях для функции N, соответствующей F(x), имеет место следующее соотношение

Аналогичное соотношение имеет место и для функции М.

В терминах характеристик Л. к. п. функции распределения легко выражаются многие свойства поведения выборочных траекторий сепарабельного процесса X. В частности, при

почти все выборочные функции Xс вероятностью 1 будут ступенчатыми функциями с конечным числом скачков на любом конечном интервале. Если и

то выборочные траектории Xс вероятностью 1 имеют ограниченную вариацию на любом конечном интервале. Непосредственно через характеристики Л. к. п. определяется инфинитезимальный оператор, соответствующий процессу Храссматриваемому как марковская случайная функция. Многие аналитич. свойства безгранично делимой функции распределения непосредственно выражаются в терминах характеристик ее Л. к. п.

Имеются аналоги Л. к. п. для безгранично делимых распределений, задаваемых на широком классе алгебраич. структур.

Лит.: [1] Гнеденко Б. В., Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М.Л., 1949; [2] Петров В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [3] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., М., 1973; [4] Гихман И. И., Скороход А. В., Теория случайных процессов, т. 2, М., 1973; [5] И т о К., Вероятностные процессы, пер. с япон., т. 2, М., 1963. Б. А. Рогозин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985