Математическая энциклопедия - ляпунова стохастическая функция

неотрицательная функция V(t, х), для к-рой пара (V(t, X(t)), Ft) супермартингал для нек-рого случайного процесса X(t), Ft есть s-алгебра событий, порожденных течением процесса Xдо момента t. Если X(t) - марковский процесс, то Л. с. ф. есть функция, для к-рой стохастич. оператор Ляпунова

неположителен. Оператор Lесть инфинитезимальный оператор процесса (t, X(t)), и потому проверку условия легко осуществить для конкретных случаев. Оператор Lпереходит в обычный оператор Ляпунова когда процесс Xдетерминированный, описываемый системой дифференциальных уравнений. С помрщью Л. с. ф. удается проверить те или иные качественные свойства траекторий процесса X(t);их роль в теории случайных процессов аналогична роли классич. Ляпунова функций в теории систем дифференциальных уравнений.

Часто Л. с. ф. наз. и такие, для к-рых функция V(t, X(t)).хотя и не является супермартингалом, но с ее помощью легко можно сформировать супермартингал. Ниже приведены типичные результаты качественного поведения траекторий марковских процессов в терминах Л. с. ф.

1) Если X(t) - непрерывный справа строго марковский процесс в определенный до момента первого выхода из любого компакта, и существуют Л. с. ф. и постоянная стакие, что

то

для любого т. е. процесс Xопределен при всех t>0 (неограниченно продолжаем).

2) Для существования стационарного марковского процесса в отвечающего переходной функции Р(t, х, A), достаточно существования функции для к-рой

при

С помощью Л. с. ф. на марковские процессы переносятся основные теоремы прямого метода Ляпунова, эти функции нашли применение и для исследования процессов с дискретным временем.

Лит.:[1] К у ш н е р Г. Д ж., Стохастическая устойчивость и управление, пер. с англ., М., 1969; [2] Xасьминский Р. 3., Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров, М., 1969; [3] К а л а ш н и к о в В. В., Качественный анализ поведения сложных систем методом пробных функций, М., 1978.

Р. 3. Хасьминский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985