Математическая энциклопедия - ляпунова характеристический показатель

решения линейной системы верхний предел

где решение линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

здесь суммируемое на каждом отрезке отображение или суммируемое на каждом отрезке отображение В координатной записи

где суммируемые на каждом отрезке функции, а

(или любая другая эквивалентная норма; не зависит от выбора нормы в или в ). Теорема Ляпунова. Пусть

эквивалентно:

Тогда для всякого решения системы (1) Л. х. п. действительное число (т. е. ).

Для Л. х. п. ненулевых решений системы (1) справедливы утверждения:

3) существуют линейно независимые решения xi(t), i=1, ..., n, системы (1), обладающие свойством: для всяких плинейно независимых решений i=1, ..., п, системы (1), занумерованных в порядке убывания Л. х. п., т. е. при выполняются неравенства

Фундаментальная система решений обладающих этим свойством, наз. нормальной; при этом:

а) семейство чисел не зависит от выбора нормальной фундаментальной системы

б) для всякого решения системы (1) Л. х. п. равен нек-рому

в)

Числа наз. Л. х. п. системы (1); число наз. часто старшим Л. х. п. системы (1).

Множество всех Л. х. п. ненулевых решений системы (1) наз. ее с п е к т р о м.

Частные с л у ч а и. 1) Система с постоянными коэффициентами (т. е. ). В этом случае равны действительным частям собственных значений оператора А(0) (матрицы ).

2) Система с периодич. коэффициентами (т. е. ). В этом случае

где мультипликаторы системы (1), занумерованные в порядке невозрастания их модулей (каждый берется столько раз, какова его кратность).

Роль Л. х. п. в теории устойчивости по Ляпунову основана на следующем утверждении: если (>0), то решения системы (1) асимптотически устойчивы (соответственно неустойчивы). Из того, что не следует, что нулевое решение системы

устойчиво по Ляпунову; однако если дополнительно известно, что система (1) правильная линейная система, то такое заключение справедливо (теорема Ляпунова).

Пусть система x=B(t)xполучена малым возмущением системы (1), удовлетворяющей условию

т. е. расстояние между ними, определяемое формулой

мало. При n>1 отсюда не следует, что величина

мала (следует, если система (1) имеет постоянные или периодич. коэффициенты, а также для нек-рых других систем); иными словами, функционалы не всюду непрерывны на пространстве систем (1) наделенном указанной метрикой (2).

Л. х. п. введены А. М. Ляпуновым, причем не только для решений системы (1), но и для произвольных функций на (см. [1]).

Лит.:[1] Л я п у н о в А. М., Собр. соч., т. 2, М.-Л., 1956, с. 7-263; [2] Б ы л о в Б. Ф., В и н о г р а д Р. Э., Гробман Д. М., Н е м ы ц к и й В. В., Теория показателей Ляпунова и ее приложения к вопросам устойчивости, М., 1966; [3] Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 12, М., 1974, с. 71 -146. В. М. Миллионщиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985