Математическая энциклопедия - нестандартный анализ

раздел математич. логики, посвященный приложению теории нестандартных моделей к исследованиям в традиционных областях математики: математич. анализе, теории функций, теории дифференциальных уравнений, топологии и др. В общих чертах основной метод Н. а. можно описать следующим образом. Рассматривается нек-рая математич. структура Ми строится логико-математич. язык 1-го порядка, отражающий аспекты этой структуры, интересующие исследователя. Затем методами теории моделей строится нестандартная модель теории структуры М, являющаяся собственным расширением М. При надлежащем построении новые, нестандартные, элементы модели могут быть истолкованы как предельные, "идеальные" элементы первоначальной структуры. Напр., если первоначально рассматривалось упорядоченное поле действительных чисел, то нестандартные элементы модели естественно рассматривать как "инфинитезимальные", т. е. бесконечно большие или бесконечно малые, но отличные от нуля действительные числа. При этом все обычные отношения между действительными числами автоматически переносятся и на нестандартные элементы с сохранением всех их свойств, выразимых в логико-математич. языке. Подобным образом в теории фильтров на данном множестве нестандартный элемент определяет непустое пересечение всех элементов фильтра; в топологии возникает семейство нестандартных точек, расположенных "бесконечно близко" к данной точке. Истолкование нестандартных элементов модели часто позволяет дать удобные критерии для обычных понятий в терминах нестандартных элементов. Напр., можно доказать, что стандартная действительная функция f(x). непрерывна в стандартной точке х 0 тогда и только тогда, когда f(x)бесконечно близка к f(x0 )для всех (и нестандартных) точек х, бесконечно близких к х 0. Полученные критерии могут быть с успехом применены к доказательству обычных математич. результатов.

Результаты, полученные методами Н. а., могут быть естественно передоказаны и обычным образом, но рассмотрение нестандартной модели имеет то значительное преимущество, что позволяет актуально вводить в рассуждение "идеальные" элементы, что позволяет давать прозрачные формулировки для многих понятий, связанных с предельными переходами от конечного к бесконечному. В Н. а. на строгой математической основе реализуется до некоторой степени идея Г. Лейбница (G. Leibniz) и его последователей о существовании бесконечно малых величин, отличных от нуля, идея, к-рая в последующем развитии математич. анализа была заменена точным понятием предела переменной величины.

С помощью Н. а. был обнаружен ряд новых фактов. Многие классич. доказательства заметно выигрывают в наглядности при изложении их методами нестандартного анализа. Н. а. был с успехом использован для построения точной теории нек-рых полуэмпирич. методов механики и физики.

Лит.:[1] Robinson A., Non-standard analysis, Amst., 1966; [2] Девис М., Прикладной нестандартный анализ, пер. с англ., М., 1980.

А. Г. Драгалин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985