Математическая энциклопедия - несамосопряженный оператор

линейный оператор в гильбертовом пространстве, спектральный анализ которого не укладывается в рамки теории самосопряженных операторов и ее простейших обобщений: теории унитарных операторов и теории нормальных операторов. Н. о. возникают при рассмотрении процессов, протекающих без сохранения энергии: в задачах с трением, в теории открытых резонаторов, в задачах неупругого рассеяния и др. К исследованию Н. о. приводят и нек-рые самосопряженные задачи, в к-рых при разделении переменных возникает операторно-значная функция , нелинейно зависящая от спектрального параметра . Многие из предложений, относящиеся к теории Н. о., справедливы и для операторов, действующих в произвольных банаховых пространствах, F-пространствах, топологических векторных пространствах и т. д.

Наиболее распространенным методом изучения Н. о. является метод оценки резольвенты, использующий теорию аналитич. ций, теорию асимптотич. разложений и др.

Первыми работами, относящимися к теории Н. о., были работы Г. Биркгофа (G. Birkhof), Я. Д. Тамаркина, В. А. Стеклова и др. по исследованию задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти ученые применяли метод Коши контурного интегрирования резольвенты.

Для дифференциальных Н. о. с частными производными долгое время отсутствовали эффективные методы изучения. Объясняется это сложным строением резольвенты оператора, как аналитич. ции.

В развитии общей теории Н. о. (и, в частности, операторов с частными производными) большую роль сыграла работа М. В. Келдыша [1] (см. также [2]). В ней изучено уравнение где у - элемент некоторого гильбертова пространства Н, а оператор допускает представление

Здесь H0 вполне непрерывный обратимый самосопряженный оператор конечного порядка, произвольные вполне непрерывные операторы. (Вполне непрерывный оператор А , действующий в гильбертовом пространстве, называется оператором конечного порядка, если при нек-ром ; через обозначены сингулярные числа А, т. е. собственные значения оператора Собственные значения уравнения (1) те значения ,

при к-рых это уравнение имеет нетривиальные решения у;эти решения наз. собственными векторами.

При сделанных выше предположениях спектр уравнения (1) дискретен. Вследствие несамосопряженности оператора , наряду с собственными векторами, естественно, возникают (при наличии кратного спектра) присоединенные векторы. В работе [1] строится цепочка присоединенных векторов отвечающих собственному значению и собственному вектору упо правилу

Система собственных и присоединенных векторов оператора наз. n-кратно полной, если любые пвекторов пространства Нможно аппроксимировать по норме Нс любой точностью конечными линейными комбинациями вида

с одними и теми же коэффициентами . Здесь вектор-функция вида

Определение n-кратной полноты, естественно, связано с решением задачи Коши для соответствующего уравнению (1) нестационарного уравнения.

Согласно теореме М. В. Келдыша, при сделанных предположениях относительно коэффициентов система всех собственных и присоединенных векторов оператора n-кратно полна в Н. В работе [1] было также показано, что собственные значения асимптотически приближаются к лучам При доказательстве полноты М. В. Келдыш развил новый метод оценки резольвенты абстрактного вполне непрерывного Н. о. конечного порядка. При этом выявилась особая роль, к-рую играют в проблеме полноты вольтерровы операторы вполне непрерывные операторы с единственной точкой спектра в нуле. Для доказательства асимптотич. поведения собственных значений М. В. Келдыш [3] использовал установленную им новую тауберову теорему.

Исследования М. В. Келдыша были продолжены многими учеными. Его теорема распространена [4] на случай, когда в уравнении (1) оператор рационально зависит от .

Было рассмотрено (см. [5] [7]) уравнение с где С вполне непрерывный положительно определенный оператор, а Вограниченный самосопряженный оператор. Обобщение теоремы Понтрягина (см. [8]) о существовании у J-самосопряженного оператора Амаксимального J-неотрицательного инвариантного подпространства позволило (см. [6] и [7]) установить, в важных для приложений ситуациях, двухкратную полноту всех собственных п присоединенных векторов , а также однократную полноту подсистемы, соответствующую спектру, расположенному в левой (правой) полуплоскости. Эти результаты получили дальнейшее развитие.

Установлена (см. 19]) суммируемость рядов Фурье по собственным и присоединенным векторам вполне непрерывного оператора Аконечного порядка , у к-рого значения квадратичной формы лежат в секторе комплексной плоскости, раствора меньшего (по поводу приложений этой теоремы и ее дальнейших обобщений см. [10] и библиографию там).

Вопрос о том, когда система собственных и присоединенных векторов образует базис в гильбертовом пространстве, изучался в ряде работ (см. [11]). Наиболее общие условия, при к-рых система собственных и присоединенных векторов диссипативного вполне непрерывного оператора образует базис, найдена в [12].

В случае сингулярных дифференциальных операторов с дискретным спектром получен (см. в [11] и [13]) ряд тонких результатов о полноте собственных и присоединенных функций оператора Штурма-Лиувилля с комплексным потенциалом. Важные результаты получены в случае эллиптич. операторов (см. [14]). Дано обобщение теоремы Келдыша на случай обобщенных собственных и присоединенных функций несамосопряженных эллиптич. операторов (см. [15], [16]).

Попытка перенести теорему о приведении конечномерного оператора к жордановой форме на бесконечномерный случай привела к построению треугольного интегрального представления. Для вполне непрерывных операторов самосопряженные и имеет конечный порядок, получен аналог теоремы Шура об унитарной эквивалентности оператора Втреугольному (см. [17]). Особое место в проблеме треугольного представления заняли вольтерровы операторы.

В проблеме треугольного представления существенную роль сыграла теорема Неймана о существовании у линейного вполне непрерывного оператора в гильбертовом пространстве нетривиального инвариантного подпространства; у произвольного ограниченного линейного оператора в банаховом пространстве нетривиального инвариантного подпространства может не быть; соответствующий вопрос для случая гильбертова пространства остается открытым (1982). Вольтерров оператор наз. одноклеточным, если из каждых двух его инвариантных подпространств и , либо Найдено [18] необходимое и достаточное условие однолистности оператора Вв предположении, что ядерный неотрицательно определенный: это условие формулируется в терминах роста резольвенты оператора Впри . Указано [19] простое достаточное условие одноклеточности.

Н. о. с непрерывным спектром впервые были исследованы М. А. Наймарком (см. [20], [21] ), к-рый получил разложение в интеграл Фурье, связанное с несамосопряженной задачей

где комплекснозначная функция, удовлетворяющая условию

комплексное число. Из результатов работы [20], в частности, следует, что в окрестности точек действительной оси, обращающих функцию в нуль , спектральные проекторы оператора (3) (4) ноограничены (через обозначено решение уравнения (3), удовлетворяющее условию при решение Иоста); действительные нули функции A(s) названы в [20] спектральными особенностями. Получено (см. [22]) обобщение результатов работы [20] на случай уравнения Шредингера в трехмерном пространстве. В развитие работы [20] было показано (см. [23]), что в общем случае (без ограничения типа (5)) спектральная функция дифференциального оператора должна рассматриваться как линейный непрерывный функционал, заданный на некотором топологическом пространстве.

Исследовалась (см. [24]) система несамосопряженных уравнений с особыми точками, положение к-рых зависит от спектрального параметра. Эти системы встречаются в безмоментной теории оболочек. Для таких систем установлены асимптотич. свойства решений, а также доказаны теоремы разрешимости типа теоремы Коши. Установлены теоремы полноты системы собственных и присоединенных функций несамосопряженных пнтегро-дифференциальных операторов, порождающих нерегулярную задачу.

Важной задачей теории дифференциальных Н. о. является задача о разложении ядра оператора Грина в биортогональный ряд по собственным и присоединенным функциям, а также проблема их базисности. Я. Д. Тамаркин [25] исследовал разложения суммируемой функции в ряд по собственным и присоединенным функциям регулярной задачи, а также вопросы равносходимости с тригонометрич. рядом Фурье. Позже было показано (см. [26], [27]), что для нерегулярных задач равносходимость с тригонометрическим рядом не имеет места.

Для усиленно регулярных условий система собственных и присоединенных функций образует базис в L2. Показано (см. [28], [29]), что указанная система образует не только базис, но и так наз. базис Рисса.