Математическая энциклопедия - ньютона диаграмма

многоугольник Ньютон а,выпуклая ломаная, введенная И. Ньютоном (I. Newton) в 1669 (см. [1]) для определения показателей главных членов алгебраич. функций. Процесс последовательного нахождения членов разложения алгебраич. функции с помощью Н. д. носит название метода диаграммы Ньютона. Более подробно метод Н. д. был разработан В. Пюизё [2], ив математич. литературе Н. д. иногда наз. диаграммой Пюизё. Алгебраич. вариант Н. д. задолго до В. Пюизё был исследован Ж. Лагранжем [3].

Пусть псевдомногочлен относительно у, т. е.

где

х, укомплексные переменные, комплексные числа, рнатуральное число,неотрицательные рациональные числа, Обычно считается, что если а значит Решения уравнения

ищутся в виде ряда

где или, короче, где при Для определения возможных значений e и у e. подставляется (2) в (1), собираются члены с одинаковыми степенями хи приравниваются нулю коэффициенты при этих степенях.

Процесс начинается с члена наинизшей степени. Пока показатель e не определен, нельзя сказать, какие из полученных членов будут наинизшими по х. Однако члены наинизшего порядка содержатся среди следующих:

где кпробегает те из значений для к-рых Для уничтожения членов наинизшего порядка необходимо подобрать так, чтобы по меньшей мере два из показателей совпали, а остальные были не меньше их. Это соображение и приводит к Н. д.

На плоскости выбирается прямоугольная декартова система координат и строятся точки , , где kпробегает те же значения, что и в (3). Через точку проводится прямая, совпадающая с осью ординат, к-рая затем вращается вокруг точки против часовой стрелки до тех пор, пока она не попадет на какую-либо из нанесенных точек, напр. . Тангенс угла, составленного прямой L, проходящей через точки с отрицательным направлением оси абсцисс, равен одному из значений , так как если

Пусть точка на Lс наибольшей абсциссой и пусть теперь Lвращается против часовой стрелки вокруг точки , пока она не попадет на другую из нанесенных точек, скажем с t> s. Пусть прямая, проходящая через и . Тангенс угла, образованного с отрицательным направлением оси абсцисс, даст еще одно из возможных значений .

Продолжением этих построений получается выпуклая ломаная, к-рая и наз. диаграммой Ньютона.

Определение значений коэффициента таково.

Пусть крайние точки отрезка Н. д., определяющего одно из возможных значений . Для того чтобы при подстановке (2) в (1) уничтожились члены наинизшего порядка, необходимо и достаточно, чтобы

где штрих суммы означает, что суммирование проводится по , удовлетворяющим соотношению Х Уравнение (4) имеет отличных от нуля

корней (с учетом их кратности), т. е. столько корней, какова длина проекции взятого отрезка Н. д. Отсюда видно, что методом Н. д. получаются все пзначений главного члена в формуле (2). Этим же методом определяется следующий член в разложении (2), и т. д. В результате все прешений уравнения (1) имеют вид (2) т. н. рядов Пюизё (см. Алгебраическая функция). Метод Н. д. применяется также и при решении дифференциальных уравнений.

Лит.:[1] Ньютон И., Математические работы, пер. с латин., М.Л., 1937, с. 33-34; [2] Р uiseiu V., "J. math, pure et appl.", 1850, t. 15, p. 365-480; [3] Lagrange J., "Nouv. Mem. Acad. Roy. Sci.", 1776; [4] Вайнберг М. M., Треногин В. А., Теория ветвления решений нелинейных уравнений, М., 1969; [5] Исаак Ньютон. 1643-1727. Сб. статей к трехсотлетию со дня рождения, М.Л., 1943; И Брюно А. Д., Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений, М., 1979. В. А. Треногий.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985