Математическая энциклопедия - ньютонов потенциал

в шороком смысле потенциал с ньютоновым ядром где расстояние между точками хи уевклидова пространства т. е. интеграл вида

где интегрирование производится по нек-рой мере Радона на с компактным носителем S. В случае неотрицательной меры Н. п. (1) есть супергармонич. функция во всем пространстве (см. Субгармоничес кая функция).

Вне носителя Sмеры Н. п. (1) имеет производные всех порядков по координатам точки хи является регулярным решением уравнения Лапласа т. е. и(х)гармоническая функция на открытом множестве CS, регулярная и на бесконечности, В случае абсолютно непрерывной меры и, Н. п. и(х)имеет вид

где элемент объема в нек-рая конечная область. Если при этом плотность непрерывна по Гёльдеру в замкнутой области Dи граница состоит из конечного числа замкнутых гиперповерхностей Ляпунова, то имеет непрерывные производные 2-го порядка внутри Dи удовлетворяет уравнению Пуассона

В работах И. Ньютона (I. Newton) понятие "потенциала" еще не встречается. Впервые существование силовой функции ньютоновых сил тяготения доказал Ж. Лагранж (J. Lagrange, 1773). Термины "потенциальная функция" и "потенциал", применительно к интегралам вида (2) при N=3, впервые встречаются соответственно у Дж. Грина (G. Green, 1828) и у К. Гаусса (С. Gauss, 1840). Термин "Н. п." иногда употребляется в узком смысле применительно только к объемным потенциалам вида (2), а иногда применительно только к физически реальному случаю (2) потенциала сил тяготения при N=3, создаваемого массами, распределенными в области Dс плотностью f(y).

Если интеграл типа (2) или (1) распространен по гиперповерхности , т. е.

то говорят о ньютоновом потенциале простого слоя, к-рый является регулярной гармонич. функцией всюду вне S. Если Sзамкнутая гиперповерхность Ляпунова и плотность f(y)непрерывна по Гёльдеру на S, то Н. п. простого слоя непрерывен всюду в , а его производные непрерывны вне S. При этом его нормальная производная по направлению внешней к Sнормали в точке имеет различные пределы при приближении к Sизнутри и извне, выражающиеся соответственно формулами

т. н. прямое значение нормальной производной Н. п. простого слоя, угол между вектором и нормалью n0; при этом нормальная производная непрерывна на S.

Ньютонов потенциал двойного слоя имеет вид

где пвнешняя нормаль к Sв точке . Н. п.

двойного слоя также гармонич. функция вне S, но при приближении к Sон терпит разрыв. При тех же предположениях на Sи f(y) он имеет пределы изнутри и извне S, выражающиеся соответственно формулами

т. н. прямое значение Н. п. двойного слоя в точке . При несколько более жестких условиях на Sи f(y)нормальная производная Н. п. двойного слоя, напротив, непрерывна при переходе через S.

См. также Двойного слоя потенциал, Объемный потенциал, Потенциала теория, Простого слоя потенциал.

Лит.:[1] Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953; [2] Сретенский Л. Н., Теория ньютоновского потенциала, М.-Л., 1946; [3] Ландкоф Н. С, Основы современной теории потенциала, М., 1966; [4] Брело М., Основы классической теории потенциала, пер. с франц., М., 1964; [5] Уэрмер Дж., Теория потенциала, пер. с англ., М., 1980: [6] Kellogg О. D., Foundations of potential theory, В., 1929.

E. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985