Математическая энциклопедия - общая алгебра

часть алгебры, занимающаяся изучением тех или иных алгебраич. систем, включающая в себя теории групп, колец, модулей, полугрупп, решеток (структур) и т. п. Вне рамок О. а. остаются такие направления, как изучение матриц и линейных уравнений, алгебраич. геометрия и алгебраич. теория чисел, полилинейная алгебра и т. п. Выделение О. а. как части алгебры довольно условно, и граница ее расплывчата. Напр., трудно сказать, относятся ли к О. а. теории полей, конечных групп или конечномерных алгебр Ли.

Если универсальная алгебра снабжена порядком или топологией, согласованными с операциями, то возникает частично упорядоченная или топологич. алгебра соответственно. Исследование этих объектов также относится к О. а. Наиболее развиты теории частично упорядоченных и топологич. групп и колец.

Начало развития О. а. относится к 19 в., когда были исследованы нек-рые конечные группы и конечномерные алгебры. Однако современная О. а. связана с проникновением в алгебру теоретико-множественного мышления и является продуктом 20 в. Так, первая монография (О. Ю. Шмидта, см. [1]), где группа не предполагается конечной, по определению, появилась лишь в 1916. В первую очередь эта перестройка коснулась теории групп, а затем теории колец. Результаты этой перестройки отражены в монографии Б. Ван дер Вардена (В. L. Van der Waerden), вышедшей в 1930-31.

Выявление общих моментов, содержащихся в теориях групп и колец, привело к рассмотрению решеток (структур), универсальных алгебр и категорий. Появление теории моделей и алгебраич. систем связано с вскрытием связей алгебры и математич. логики. Желание выяснить, в какой мере те или иные факты теории групп зависят от наличия обратных элементов и ассоциативности, породило полугруппы и квазигруппы. Все эти вновь появившиеся разделы О. а. через нек-рое время обрели собственную проблематику, нашли собственные пути развития и собственные области приложения (напр., полугруппы оказались чрезвычайно важными для алгебраич. теории автоматов). Более того, эти направления в свою очередь начали оказывать влияние на породившие их классич. разделы О. а. Так, напр., понятие многообразия алгебр, выкристаллизовавшееся в теории универсальных алгебр, играет важную роль в современной теории групп и колец. В качестве другого примера можно назвать изучение классов групп и колец, определяемых свойствами решетки их подгрупп и нормальных подгрупп, идеалов и подколец, а также вопросов, связанных с решеточными изоморфизмами. См. также Универсальная, алгебра.

Лит.:[1] Шмидт О. Ю., Абстрактная теория групп, 2 изд., М.-Л., 1933; [2] Ван дер Варден Б. Л., Алгебра, пер. с нем., 2 изд., М., 1979, [3] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [4] eго же. Общая алгебра. Лекции 1969/1970 учебного года, М., 1974; [5] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [6] Судзуки М., Строение группы и строение структуры ее подгрупп, пер. с англ., М., 1960.

Л. А. Скорняков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985