Математическая энциклопедия - общая топология

ветвь геометрии, посвященная исследованию непрерывности и предельного перехода на том естественном уровне общности, к-рый определяется природой этих понятий. Исходными понятиями О. т. являются понятия топологического пространства и непрерывного отображения, выделенные в 1914 Ф. Хаусдорфом (F. Hausdorf).

Частным случаем непрерывных отображений являются гомеоморфизмынепрерывные взаимно одпознач-ные отображения топологич. пространств, обладающие непрерывным обратным отображением. Пространства, к-рые можно отобразить друг на друга посредством гомеоморфизма (т. е. гомеоморфные пространства), считаются в О. т. одинаковыми. Одной из основных задач О. т. является выделение и исследование естественных топологич. инвариантов свойство пространств, сохраняющихся гомеоморфизмами. Разумеется, каждое свойство пространства, к-рое формулируется исключи-

тельно в терминах его топологии, автоматически является топологич. инвариантом. Доказательство топологич. инвариантности свойства пространства требуется лишь тогда, когда оно формулируется с привлечением каких-либо дополнительных структур, определенных на множестве точек пространства и так или иначе связанных с его топологией. Примером может служить топологич. инвариантность групп гомологии.

Топологич. инвариант не обязательно выражается числом; напр., связность, бикомпакгность, метризуемость топологич. инварианты. Среди числовых инвариантов (принимающих числовые значения на конкретных топологич. пространствах) важнейшими являются размерностные инварианты: малая индуктивная размерность ind, большая индуктивная размерность Ind и размерность Лебега dim (размерность в смысле покрытий).

Важную роль играют топологич. инварианты иной природы, значениями к-рых служат кардинальные числа. Среди них: вес, характер.

В связи с системой топологич. инвариантов возникают классы топологич. пространств каждый класс определяется ограничением на тот или иной топологич. ин-вариапт. Наиболее важны классы метризуемых пространств, бикомпактных пространств, тихоновских пространств, паракомпактных пространств, перистых пространств.

Основные "внутренние" задачи О. т. таковы: 1) выделение новых важных классов топологич. пространств; 2) сравнение различных классов топологич. пространств; 3) изучение пространств в пределах того или иного класса и категорных свойств этого класса в целом. Центральной в этой группе, безусловно, является задача 2), направленная на обеспечение внутреннего единства О. т.

Выделение новых важных классов топологич. пространств (т. е. новых топологич. инвариантов) часто связано с рассмотрением дополнительных структур на пространстве (числовых, алгебраических, порядковых), естественно согласованных с его топологией. Так, выделяются метризуемые пространства, упорядоченные пространства, пространства топологических групп,. симметризуемые пространства и др. Важную роль при решении задач 1), 2), 3) играет метод покрытий. На языке покрытий и соотношений между покрытиями, важнейшими из к-рых являются отношения вписанности и звездной вписанности, выделяются фундаментальные классы бикомпактных и паракомпактных пространств, формулируются тоиологич. свойства типа компактности. Метод покрытий играет важную роль в pas-мерности теории.

Для решения центральной задачи 2) особенно важен метод взаимной классификации пространств и отображений. Он направлен на установление связей между различными классами топологич. пространств посредством непрерывных отображений, подчиненных тем или иным простым ограничениям. Пространства весьма общей природы удается при этом описать как образы более простых пространств при "хороших" отображениях. Напр.. пространства с первой аксиомой счетности характеризуются как образы метрич. пространств при непрерывных открытых отображениях. Связи такого рода составляют эффективную систему ориентиров при рассмотрении классов топологич. пространств.

Метод обратных спектров, тесно связанный с методом покрытий и методом отображений, позволяет сводить изучение сложных топологич. пространств к рассмотрению систем отображений пространств более простых.

Наконец, в решении задачи 2) существенно участвует метод кардинальнозначных топологич. инвариантов, или мощностных характеристик. Инварианты такого рода наиболее созвучны теоретико-множественной природе О. т. В связи с этим система кардинальнозначных инвариантов обладает большой разветвленностью и оказывает влияние практически на все остальные топо-логич. свойства. Другая важная особенность кардинальнозначных инвариантов их тесная взаимосвязь, в основе к-рой лежит возможность осуществлять над такими инвариантами арифметич. операции и сравнивать их по величине. Благодаря указанным чертам теория кардинальнозначных инвариантов играет унифицирующую роль в О. т. и дает подход к любому из ее разделов.

Среди внешних задач О. т. выделяется, прежде всего, следующая задача общего характера: как связаны и взаимодействуют свойства топологии и др. структур, согласованных с этой топологией. Конкретные задачи этого рода относятся к топологическим группам, к топологическим векторным пространствам и к мерам на топологических пространствах. Каждому бикомпакту отвечает банахова алгебра всех непрерывных действительных функций на этом бикомпакте. Этим теория топологич. пространств ставится в тесную связь с теорией банаховых алгебр. Большую роль в функциональном анализе играют слабые топологии на банаховых пространствах. Это важный для приложений класс неметризуемых топологий. Каждое тихоновское пространство характеризуется однозначно кольцом всех непрерывных действительных функций на нем в топологии поточечной сходимости. Результаты этого рода соединяют О. т. и топологическую алгебру.

Понятие бикомпактного расширения нашло приложение в теории потенциала ( Кольцевая граница, Мартина граница).

О. т. важна в методич. отношении при обучении математике. Только в рамках ее понятий и конструкций вполне выясняются и становятся прозрачными фундаментальные концепции непрерывности, сходимости, параллельного перехода. Трудно назвать области математики, в к-рых понятия и язык О. т. совсем бы не использовались. В этом, в частности, проявляется ее объединяющая роль в математике. Положение О. т. в математике определяется и тем, что целый ряд принципов и теорем, имеющих общематематич. значение, получает свою естественную (т. е. отвечающую природе этих принципов, теорем) формулировку только в рамках О. т. Примерами могут служить понятие бикомпактности абстракции от леммы Гейне Бореля о выборе конечного подпокрытия отрезка, теорема о бикомпактности произведения бикомпактных пространств (за к-рой стоит, в качестве прообраза, утверждение о бикомпактности конечномерного куба), теорема о том, что непрерывная действительная функция на бикомпакте ограничена и достигает наибольшего и наименьшего значений. Этот ряд примеров можно продолжить: понятие множества второй категории, понятие полноты, понятие расширения (сам характер этих понятий и относящихся к ним результатов, важных для математики в целом, делает наиболее естественным и прозрачным их исследование в рамках О. т.).

Лит.:[1] Александров П. С, Теория функций действительного переменного и теория топологических пространств, М., 1978, с. 280-358; [2] его же, "Успехи матем. наук", 1960, т. 15, в. 2, с. 25-95; [3] его же, там же, 1964, т. 19, в. 6, с. 3-46; 1965, т. 20, в. 1, с. 253-54; [4] Алексндров П. С, Федорчук В. В., там же, 1978, т. 33, в. 3, с. 348; [5] Архангельский А. В., там же, 1966, т. 21, в. 4, с. 133-84; [6] его же, там же, 1978, т. 33, в. 6, с. 29-84.

А. В. Архангельский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985