Математическая энциклопедия - общее решение

системы обыкновенных дифференциальных уравнений п- гопорядка

в области Gгладкое по t и непрерывное по совокупности параметров n-параметрическое семейство вектор-функций

откуда при соответствующем выборе значений параметров получается любое решение системы, график к-рого проходит в области ; здесь область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для системы (1). (Иногда условливаются, что параметры могут принимать и значения .) Геометрически О. р. системы (1) в области Gпредставляет собой семейство непересекающихся интегральных кривых этой системы, полностью заметающих всю область.

О. р. системы (1) в области Gпозволяет найти решение задачи Коши для этой системы с начальным условием нужно из системы правенств определить значения ппараметров С 1 ,. . ., С n и подставить эти значения в (2). Если решение системы (1), удовлетворяющее условию то n-параметрическое семейство где фиксированное число, а рассматриваются как параметры, является О. р. системы (1) в нек-рой области и наз. О. р. в форме Коши. Знание О. р. позволяет однозначно восстановить систему дифференциальных уравнений: для этого надо из псоотношений (2) и из псоотношений, получающихся дифференцированием соотношений (2) по t, исключить ппараметров

В случае обыкновенного дифференциального уравнения n-го порядка

О. р. в области Gимеет вид n-параметрического семейства функций

из к-рого при соответствующем выборе значений параметров получается решение уравнения (3) с любыми начальными условиями

здесь область, где выполнены условия теоремы существования и единственности для уравнения (3).

Функция, получающаяся из О. р. при конкретных значениях параметров, наз. частным решением. Семейство функций, содержащее все решения данной системы (уравнения) в нек-рой области, не всегда удается выразить в виде явной функции независимой переменной. Это семейство может оказаться записанным в виде неявной функции и тогда оно наз. общим интеграломили в параметрич. виде.

Если конкретное обыкновенное дифференциальное уравнение (3) допускает интегрирование в замкнутой форме (см. Интегрирование дифференциальных уравне ний в замкнутой форме), то часто удается получить соотношение типа (4), где параметры возникают как постоянные интегрирования и оказываются произвольными постоянными. (Именно поэтому часто говорят, что О. р. уравнения n-го порядка содержит га произвольных постоянных.) Однако такое соотношение далеко не всегда является О. р. во всей области существования и единственности решения задачи Коши для исходного уравнения.

Лит.:[1] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1950; [2] Вругин Н. П., Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений, 3 изд., Минск, 1971).

Н. X. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985