Математическая энциклопедия - пикара многообразие

полного гладкого алгебраического многообразия Xнад алгебраически замкнутым полем абелево многообразие , параметризующее факторгруппу Div^a(X)/P(X).группы Div^a(X). дивизоров, алгебраически эквивалентных нулю, по группе главных дивизоров Р(X), т. е. дивизоров рациональных функций. С точки зрения теории пучков П. м. параметризует множество классов изоморфных обратимых пучков с нулевым классом Чжэня, т. е. cовпадает со связной компонентой единицы Pic⁰ (X) Пикара группы Pic (X).Многообразия X. Структура абелеВа многообразия на группе (Х) =-Div^d (Х)/Р(X).однозначно характеризуется следующим свойством: Для любого алгебраич. семейства Дивизоров Dна X с базой Sсуществует такое регулярное отображение , для к-рого D(s), где s0 - нек-рая фиксированная точка из S0 (см. [2]). Размерность наз. иррегулярностью многообразия X.

Классической пример П. м.Якоби многообразие гладкой проективной кривой. Другим примером может служить двойственное абелево многообразие (см. [3]).

В случае, Когда X - гладкое проективное комплексное многообразие, можно отождествить с группой обратимых аналитич. чков на X, имеющих нулевой класс Чжоня [4]. Более того, многообразие Пикара в этом случае изоморфно факторгруппе пространства по решетке .

В частности, иррегулярность qмногообразия Xсовпадает с dim , где пучок регулярных 1-форм. Последний результат верен также в случае неособых проективных кривых над любым алгебраически замкнутым полем и в случае полных гладких многообразий над алгебраически замкнутым полем характеристики 0; для произвольной характеристики имеет место лишь неравенство Игузы: (известен пример гладкой алгебраич. поверхности Fиррегулярности 1 с ; см. [0]). Как видно отсюда, П. м. тесно связано с теорией одномерных дифференциальных форм. Начало исследования таких форм на римановых поверхностях положил Э. Пикар [1]; он доказал конечномерность пространства всюду регулярных форм,

Понятие П. м. может быть обобщено на случай полного нормального многообразия X. Изучалось также многообразие Пикара , соответствующее дивизорам Картье и обладающее, в отличие от , хорошими функториальными свойствами [9|. Многообразие было построено Для полных нормальных многообразий X(см. [5]), а также для произвольных проективных многообразий [8].

Лит.:[1] Рiсаrd Е., "С. г. Acad. Sci.", 1884, t. 99, р, 961 963; [2] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [3] Мамфорд Д., Абелевы Многообразия, пер. с англ., М., 1971; [4] Гриффите Ф., Харрис Дж., Принципы алгебраической геометрии, пер, с англ., т. 1-2, М., 1982; [5] Сhеvаllеу С., "Amef. J. Math.", 1960, v. 82, p. 435-90; [6] Igusa J.*I., "Proc. Nat. Acad. Sci. USA", 1955, v. 41, № 11, p. 964-67; [7] Matsuвakа Т., "Jap. J. Main.", 1951, v. 81, № 2, p. 217-36; [8] Seshadri C., "Ann. mat. pura ed appl.", 1962, v. 57, p. 117-42; [9] его же, "Math. Ann.", 1965, Bd 158, № 3, S. 293 96. В. В. Шокypoв.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985