Математическая энциклопедия - пикара схема

естественное обобщение в рамках теории схем понятия Пикара многообразия гладкого алгебраич. многообразий X. Для определения П. с. произвольной "S-схемы Храссматривается относительный функтор Пикара PicX/S на категории Sch/S схем над схемой S. Значение этого функтора На S-cхеме S' есть группа

где есть морфизм замены базы, пучок на топологии Гротендика

S'fpqc строго плоских квазикомпактных морфизмов, ассоциированный с предпучком

а G т обозначает стандартный мультипликативный пучок. Если функтор Пикара PicX/S представим на (Sch/S), то представляющая его S-схема наз. относительной схемой Пикара S-схемы Xиобозначается Piс X/S. В случае, когда X алгебраич. схема над нек-рым полем k, имеющая рациональную k-точку,

для любой k-схемы S' (см. [3]); в частности, = = Pic(X) отождествляется с группой k-рациональных точек схемы , если таковая существует.

Если проективный морфизм с геометрически целостными слоями, то схема существует и является локально конечно представленной отделимой групповой S-схемой. Если S=Spec(k), то связная компонента единицы схемы является алгебраической k-схемой и соответствующая приведенная k-схема есть в точности многообразие Пикара (см. [4]). Нильпотентные элементы в локальных кольцах схемы дают много дополнительной информации о П. с. и позволяют объяснить ряд паталогий в алгебраич. геометрии над полем характеристики р>0. С другой стороны, над полем характеристики 0 схема всегда приведена (см. [6]). Известно также, что схема приведена, если F - гладкая алгебраич. поверхность и (см. [5]).

Для любого собственного плоского морфизма f: (конечно представленного, если база Sнётерова), для к-рого , при любой замене базы функтор является алгебраич. пространством над S(см. [1]), В частности, функтор представим, если базисная схема Sесть спектр локального артинова кольца.

Лит.:[1] Аrtin M., в сб.: Global analysis. Papers in Honor of К. Kodaira, Tokyo, 1969, p. 21-77; [2] Сhevalleу С., "Amer. J.Math.", 1960, v. 82, p. 435-90; [3] Grоthendieck А., в кн.: Seminalre Bourbaki, 1961-1962, annee 14, [P., 1962], p. 232/01-232/19; [4] eго же, "Pub], math. Inst. hautes etudes sclent.", 1960, Mi 4, p. 1-168; [5] Mамфорд Д., Лекции о кривых на алгебраических поверхностях, пер. с англ., М., 1968; [6] Ооrt F., "Invent, math.", 1966, v. 2, № 1, p. 7980; [7] Итоги науки и техники. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 10, М., 1972, с. 47-112. В. В. Шакуров,

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985