Математическая энциклопедия - пикара теорема

1) П. т. о поведении аналитической функции f(z) комплексного переменного zв окрестности существенно особой точки а - название результата классич. теории функций, явившегося отправным пунктом многочисленных глубоких исследований и состоящего из двух частей. а) Малая теорема Пикара: всякая целая функция const принимает любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного. б) Большая теорема Пикара: всякая однозначная аналитич. ция f(z) в произвольной окрестности изолированной существенно особой точки а принимает любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного.

Впервые эта теорема опубликована Э. Пикаром [1], [2]. Она существенно дополняет Сохоцкого теорему. Малая П. т. есть следствие большой П. т. Из большой П. т. непосредственно следует, что любое конечное комплексное значение, за исключением, быть может, одного, принимается в произвольной окрестности существенно особой точки бесконечно часто. Для мероморфной функции в конечной плоскости П. т. принимает вид: если точка существенно особая для мероморфной в функции F(z), то в произвольной окрестности точки афункция F(z). принимает любое комплексное значение из расширенной комплексной плоскости , за исключением, быть может, двух, и притом бесконечно часто. Как показывают примеры целой функции и мероморфной функции все эти утверждения точные. Фигурирующие в П. т. исключительные значений наз. пикаровскими исключительными значениями.

П. т. существенно дополняется Иверсена теоремой к Жюлиа теоремой, к-рые показывают соответственно, что пикаровские исключительные значения являются асимптотическими значениями и что существуют лучи Жюлиа L, исходящие из существенно особой точки аи такие, что неисключительные значения принимаются бесконечно часто даже в любом сколь угодно малом секторе с вершиной аи осью симметрии L.

Для современных исследований, связанных с П. т., характерны следующие два направления. Пусть Е - множество существенно особых точек мероморфной функции F(z), то есть F(z) - мероморфная функция в нек-рой окрестности любой точки , и предельное множество С(z0; F).функции F(z).в точке не сводится к одному значению. Пусть ,множество тех значений , к-рые в любой окрестности точки апринимаются бесконечно часто. Тогда П. т. утверждает, что если а изолированная точка Е, то дополнение

обладает свойством Пикара, т. е. состоит не более чем ив двух точек. В. В. Голубев в 1916 установил, что если емкость множества Еравна нулю, cap E=0, то CR(a; F).имеет емкость нуль для всех . Вопрос о том, каковы минимальные условия на Е, чтобы множество CR(a; F).для всех обладало свойством Пикара, пока (1983) полностью не решен. Примеры показывают, что, с одной стороны, условие capE=0 не является достаточным, а с другой что имеется множество Е,capE>0, вне к-рого не существует мероморфных трансцендентных функций, выпускающих четыре значения (см. [4], [5], [8]).

Второе направление связано с обобщениями П. т. для аналитич. ций f(z).многих комплексных переменных . При n=1 П. т. можно формулировать и так: любое толоморфное отображение , выпускающее по крайней мере две точки, постоянно. Однако в 1922 П. Фату (P. Fatou) построил пример невырожденного голоморфного (и даже биголоморфного) отображения , для к-рого множество исключительных значений содержит непустое открытое множество. Это означает, что П. т. (и даже теорему Сохоцкого) непосредственно нельзя распространить па случай n>1. Обобщения П. т. все же возможны, если отправляться, напр., от другой ее формулировки, несколько искусственной при n=1: любое голоморфное отображение в комплексную проективную плоскость , выпускающее по крайней мере три гиперплоскости (т. е. точки при n=1), постоянно. Верна, в частности, такая теорема Грина: любое голоморфное отображение , выпускающее по крайней мере 2n+1 гиперплоскостей в общем положении, постоянно (см. [3], [6], [8].

2) П. т. об униформизации алгебраических кривых: если алгебраич. кривая Ф(z, w)=0 имеет род g>l, то не существует ни одной пары мероморфных функций таких, что . Иными словами, униформизация алгебраич. кривых рода g>1 при помощи мероморфных функций невозможна. Напротив, в случае g=l униформизация всегда осуществима при помощи (мероморфных) эллиптич. функций.

Установлена Э. Пикаром [7].

Лит.:[1] Р i с а r d Е., "С. г. Acad. sci.", 1879, t. 88, p. 10241027; t. 89, p. 662-65; [2] e г о же, "Ann. Ecole norm, super.", 1880, t. 9, p. 145-66; [3] Ш а б а т Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 1-2, М., 1976; [4] К о л л и н г в у д Э., Л о в а т е р А., Теория предельных множеств, пер. с англ., М., 1971; [5] Л о в а т е р А., в кн.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 10, М., 1973, с. 99-259; [6] Г р и ф ф и т с Ф., Кинг Д ж., Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических многообразий, пер. с англ., М., 1976; [7] Р i с а r d Е., "Acta math.", 18S7-88, v. 11, p. 1 12; [8] Ш а б а т Б. В., Распределение значений голоморфных отображений, М., 1982. Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985