Математическая энциклопедия - порядка соотношение

, сравнение функций, О о-с оотношения, асимптотические соотношения,понятие, возникающее при изучении поведения одной функции относительно другой в окрестности неж-рой точки (быть может, бесконечной).

Пусть x0предельная точка множества Е. Если для функций f(x).и g(x).существуют такие постоянные с>0 и d>0, что при |x-x0|<d, , то говорят, что f является ограниченной по сравнению с gфункцией в нек-рой окрестности точки х 0, и пишут (читается: " f(x) есть Обольшое от g(x)");. означает, что рассматриваемое свойство имеет место лишь в нек-рой окрестности точки х 0. Естественным образом это определение переносится на случай

Если функции f(x) и g(x).такие, что f=O(g).и g=O(f).при , то они наз. функциями одного порядка при . Напр., если функции a(x), b(х).таковы, что при и существует предел

то они одного порядка при .

Две функции f(x).и g(x).наз. эквивалентными (асимптотически равными) при и пишут f~g, если в нек-рой окрестности точки х 0, кроме, быть может, самой точки х 0, определена такая функция j(х), что

(*)

Условие эквивалентности двух функций симметрично, т. е. если f~g, то и g~f при , и транзитивно, т. е. если f~g и g~h, то f~h при . Если в нек-рой окрестности точки x0 при справедливы неравенства , то условие (*) эквивалентно любому из следующих

Если a(x).e(x)f(x), где , то говорят, что ее является бесконечно малой функцией по сравнению с функцией f, и пишут a= о(f) при (читается: "а есть о малое от f"). Если при , то a=о(f), когда . В случае, если f является бесконечно малой при , то говорят, что функция a=о(f) при является бесконечно малой более высокого порядка, чем f. Если же g(x).и [j(x)]^k - величины одного порядка, то говорят, что gявляется величиной порядка kотносительно f. Все формулы указанного выше вида наз. асимптотическими оценками, они наиболее интересны для бесконечно малых и бесконечно больших функций.

Примеры: ,

любые положительные числа);.

Некоторые свойства символов ои О:

если 0<x<x0 и f=O(g), то

Формулы, содержащие о-, О-символы, читаются только слева направо, это не исключает того, что отдельные формулы оказываются справедливыми и при чтении справа налево. Символы ои О для функций комплексного переменного и для функций многих переменных вводятся аналогично тому, как они были определены выше для функций одного действительного переменного.

М. И. Шабунин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985